Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.2 — Exponentes y Radicales¶
El álgebra se vuelve potente cuando abreviamos la repetición.
En la sección anterior se fijaron las reglas de la suma y el producto en \(\mathbb{R}\). Ahora conviene dar un paso más: así como la multiplicación es una abreviatura de la suma repetida de un mismo número, la potenciación nace como abreviatura del producto repetido. Lo que sigue es la historia de cómo esa idea simple —repetir un producto— se extiende, sin perder consistencia en ningún paso, desde los exponentes naturales hasta los racionales, y de ahí a los radicales que son su contracara.
§1. Potencias con exponente entero¶
Sea \(a \in \mathbb{R}\) y \(n \in \mathbb{N}\). Se define la potencia \(a^n\) como el producto de \(a\) consigo mismo \(n\) veces:
Aquí \(a\) se llama base y \(n\), exponente; por convención, \(a^1 = a\). Esta definición es puramente aritmética —contar factores— y no dice nada, todavía, sobre qué hacer cuando el exponente es cero o negativo.
Esos dos casos no se definen libremente: se definen de la única manera que preserva el comportamiento que ya se espera de una potencia. Considérese, por ejemplo, la ley del cociente que se demostrará en el §2, \(a^m / a^n = a^{m-n}\). Si se quiere que esa ley siga valiendo cuando \(m = n\), el lado izquierdo es \(a^n/a^n = 1\) y el derecho es \(a^0\); para que ambos coincidan, no queda otra alternativa que definir
La expresión \(0^0\) queda deliberadamente fuera de esta definición: no es que se ignore por descuido, sino que dos caminos razonables para asignarle un valor —pensarla como \(0^n\) con \(n \to 0\), que da \(0\), o como \(a^0\) con \(a \to 0\), que da \(1\)— llevan a respuestas distintas. Se trata, en este contexto, de una indeterminación.
El mismo razonamiento de consistencia, aplicado ahora al caso \(m = 0\), obliga a definir el exponente negativo como
de modo que \(a^{-n}\) es, literalmente, el inverso multiplicativo de \(a^n\) —la misma noción de inverso que se introdujo al hablar de las propiedades algebraicas de \(\mathbb{R}\)—.
Recordatorio. \(a^0 = 1\) (\(a \neq 0\)); \(0^0\) es indeterminado. El exponente negativo invierte la base: \(a^{-n} = 1/a^n\). La base nunca puede ser cero cuando el exponente es cero o negativo.
§2. Leyes fundamentales de los exponentes¶
De la definición anterior, y sin más que contar factores con cuidado, se derivan cinco leyes que rigen toda manipulación algebraica con potencias de exponente entero. Para bases reales \(a, b\) (no nulas cuando el exponente lo exige) y exponentes enteros \(m, n\):
| Ley | Fórmula |
|---|---|
| Producto de igual base | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) |
| Cociente de igual base | \(a^m / a^n = a^{m-n}\ (a \neq 0)\) |
| Potencia de una potencia | \((a^m)^n = a^{mn}\) |
| Potencia de un producto | \((ab)^n = a^n b^n\) |
| Potencia de un cociente | \((a/b)^n = a^n/b^n\ (b \neq 0)\) |
Cada una es intuitiva si se piensa en términos de factores: multiplicar \(a^m\) por \(a^n\) es escribir \(m\) copias de \(a\) seguidas de \(n\) copias más, es decir, \(m+n\) copias en total; elevar \(a^m\) a la \(n\) es repetir ese bloque de \(m\) copias, \(n\) veces, dando \(mn\) copias.
Hay, sin embargo, una tentación constante que conviene desactivar de entrada: la potenciación no se distribuye sobre la suma ni sobre la resta.
El caso \(n=2\) es el más citado y el más útil de recordar en detalle: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), no \(a^2+b^2\). El término cruzado \(2ab\) es precisamente lo que se pierde si se cede a la tentación de "repartir" el exponente.
Recordatorio. El exponente se distribuye en producto y cociente; jamás en suma o resta. \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\).
§3. Raíces \(n\)-ésimas y radicales¶
Invertir la potenciación —preguntar no "¿cuánto da \(a\) elevado a \(n\)?" sino "¿qué número, elevado a \(n\), da \(a\)?"— conduce a la radicación.
Sea \(n \in \mathbb{N}\), \(n \ge 2\), y \(a \in \mathbb{R}\). Si \(n\) es par, se exige además \(a \ge 0\): bajo esa condición existe un único real no negativo \(b\) tal que \(b^n = a\), llamado raíz \(n\)-ésima principal de \(a\) y denotado
Si \(n\) es impar, la restricción sobre \(a\) desaparece: para todo \(a \in \mathbb{R}\) existe un único \(b \in \mathbb{R}\) con \(b^n=a\), denotado de la misma manera. En la expresión \(\sqrt[n]{a}\), el signo \(\sqrt{\ }\) es el radical, \(n\) el índice y \(a\) el radicando.
La asimetría entre índice par e impar no es un capricho notacional sino una consecuencia de cómo se comporta la potenciación con signos: toda potencia par de un real es no negativa, de modo que ningún real elevado a una potencia par puede dar un resultado negativo, y por lo tanto ningún real negativo puede tener raíz par. Así, \(\sqrt{-4}\) no es un número real, precisamente porque no existe \(b \in \mathbb{R}\) con \(b^2 = -4\).
Esta restricción tiene una consecuencia que suele pasar inadvertida y que merece una demostración propia, porque conecta directamente con el valor absoluto introducido en la sección anterior.
Proposición. Para todo \(a \in \mathbb{R}\) y todo \(n\) par, \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\).
Demostración. Se distinguen los dos casos de la definición de valor absoluto. Si \(a \ge 0\), entonces \(a\) mismo es un real no negativo que satisface \(a^n = a^n\); por la unicidad de la raíz \(n\)-ésima principal, \(\sqrt[n]{a^n} = a = |a|\). Si \(a < 0\), entonces \(-a > 0\), y como \(n\) es par, \((-a)^n = a^n\); luego \(-a\) es el real no negativo cuya potencia \(n\)-ésima es \(a^n\), de donde \(\sqrt[n]{a^n} = -a = |a|\), usando la definición de valor absoluto para \(a<0\). En ambos casos, \(\sqrt[n]{a^n}=|a|\). \(\blacksquare\)
En particular, para \(n=2\): \(\sqrt{a^2} = |a|\), y no \(a\). El ejemplo numérico deja la trampa a la vista: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\), que es \(|-3|\) y no \(-3\).
Recordatorio. Con índice par, el resultado de \(\sqrt[n]{\ }\) es siempre \(\ge 0\). Para todo \(a \in \mathbb{R}\): \(\sqrt{a^2} = |a|\), nunca \(\sqrt{a^2}=a\) sin más.
§4. Exponentes racionales¶
La radicación permite, a su vez, extender la potenciación a exponentes racionales. Para \(a \in \mathbb{R}\), \(m \in \mathbb{Z}\), \(n \in \mathbb{N}\) con \(n \ge 2\), y suponiendo que \(\sqrt[n]{a}\) existe en \(\mathbb{R}\) —es decir, respetando la restricción de paridad del §3—, se define
Antes de seguir hay que resolver un problema que la notación esconde. Un número racional admite infinitas representaciones como fracción —\(1/2\), \(2/4\) y \(50/100\) son el mismo racional— y la definición anterior parte de una de ellas, \(m/n\), sin decir qué pasa si se usa otra. Si \(a^{m/n}\) ha de ser un símbolo con sentido, dos representaciones distintas del mismo exponente deben producir exactamente el mismo número real. Esto no es automático: hay que demostrarlo.
Proposición (buena definición del exponente racional). Sea \(a \in \mathbb{R}\) tal que \(a^{1/n}\) y \(a^{1/q}\) existen en \(\mathbb{R}\) —es decir, si \(n\) o \(q\) son pares, \(a \ge 0\)—. Si \(m/n\) y \(p/q\) son el mismo número racional, esto es, si \(mq = np\), entonces
Demostración. Sean \(b = (a^{1/n})^m\) y \(c = (a^{1/q})^p\); el objetivo es probar \(b=c\). Se eleva cada uno a la potencia entera \(nq\) y se aplican las leyes del §2:
Como por hipótesis \(mq = np\), se sigue que \(b^{nq} = c^{nq}\). Falta pasar de esta igualdad de potencias a la igualdad \(b=c\), y aquí es donde entra en juego la paridad discutida en el §3.
Si \(nq\) es impar, entonces \(n\) y \(q\) son ambos impares, la función \(x \mapsto x^{nq}\) es inyectiva en todo \(\mathbb{R}\) —cada real tiene una única raíz \(nq\)-ésima—, y de \(b^{nq}=c^{nq}\) se concluye directamente \(b=c\).
Si \(nq\) es par, entonces \(n\) o \(q\) es par; supóngase, sin pérdida de generalidad, que \(n\) lo es. Por hipótesis \(a \ge 0\), de modo que \(a^{1/n} \ge 0\), y una base no negativa elevada a cualquier entero \(m\) permanece no negativa; luego \(b \ge 0\). En cuanto a \(c\): si \(q\) también es par, el mismo argumento da \(c\ge 0\); si \(q\) es impar, la raíz impar de un real no negativo también es no negativa, de modo que \(a^{1/q}\ge 0\) y por tanto \(c\ge 0\) igualmente. En cualquier caso, \(b\ge 0\) y \(c\ge 0\). Sobre los reales no negativos, \(x\mapsto x^{nq}\) sí es inyectiva, de modo que \(b^{nq}=c^{nq}\) junto con \(b,c\ge 0\) permite concluir \(b=c\). \(\blacksquare\)
En consecuencia, \(a^{m/n}\) no depende de qué representación de la fracción se use: el símbolo está bien definido, y con él, las cinco leyes del §2 se extienden sin excepción a exponentes racionales.
Ejemplo. \(8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 2^2 = 4\).
§5. Simplificación de radicales¶
Un radical está en su forma simplificada cuando se cumplen tres condiciones a la vez: que del radicando se hayan extraído todos los factores cuyo exponente iguala o supera al índice; que el índice sea el menor posible; y que no queden radicales en ningún denominador.
Esta tarea se apoya en dos propiedades que extienden a los radicales el comportamiento que la potenciación ya tenía frente al producto y al cociente:
y a una tercera que rige la composición de raíces sucesivas —una raíz de una raíz—:
Anidar un índice \(m\) sobre un índice \(n\) equivale, en definitiva, a un único radical de índice \(mn\): extraer una raíz \(n\)-ésima y luego una \(m\)-ésima del resultado es lo mismo que extraer directamente la raíz \(mn\)-ésima del número original.
§6. Racionalización de denominadores¶
Racionalizar consiste en transformar una fracción con radicales en el denominador en otra, equivalente, cuyo denominador sea racional. El procedimiento cambia según el denominador tenga un solo término o dos.
Un solo radical. Si el denominador es \(\sqrt[n]{a^k}\) con \(k<n\), hace falta completar la potencia \(n\)-ésima del radicando para que el radical desaparezca; para eso se multiplica numerador y denominador por \(\sqrt[n]{a^{n-k}}\):
Ejemplo. \(\dfrac{5}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\).
Denominador binomio. Si el denominador es una suma o diferencia de dos raíces cuadradas, \(\sqrt{a} \pm \sqrt{b}\), el truco es otro: multiplicar por el conjugado, aprovechando la diferencia de cuadrados \((x-y)(x+y) = x^2-y^2\) para que las raíces se cancelen sin dejar rastro:
El denominador \(a-b\) que queda ya no tiene raíces: la diferencia de cuadrados se encargó de elevarlas al cuadrado y cancelar el radical por completo.
Recordatorio. El conjugado de \((x+y)\) es \((x-y)\); su producto es \(x^2-y^2\), sin raíces. Con un solo radical, se multiplica para completar la potencia del índice; con dos, se multiplica por el conjugado.
Con esto queda fijado el manejo de potencias y raíces sobre \(\mathbb{R}\). La sección siguiente pone estas herramientas a trabajar sobre ecuaciones e inecuaciones.