Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.8 — Geometría Analítica¶
La geometría analítica traduce figuras en ecuaciones, y ecuaciones en figuras: es un diccionario entre dos lenguajes que dicen lo mismo.
Hasta ahora toda la geometría de este libro vivió en una sola dimensión: la recta real, con su noción de distancia fijada en el §1.1 y explotada en las desigualdades del §1.7. Esta sección da el paso de la dimensión \(1\) a la dimensión \(2\): el plano \(\mathbb{R}^2\), mediante el sistema de coordenadas que permite describir cada punto por un par ordenado de números reales, y con él, describir figuras geométricas mediante ecuaciones algebraicas.
§1. El plano cartesiano¶
El plano cartesiano se construye a partir de dos rectas reales perpendiculares entre sí —el eje \(x\), horizontal, y el eje \(y\), vertical— que se cortan en un punto común llamado origen. Todo punto del plano queda determinado, sin ambigüedad, por un par ordenado \((x,y)\): \(x\), llamada abscisa, es su posición a lo largo del eje horizontal, y \(y\), llamada ordenada, su posición a lo largo del vertical. Los dos ejes dividen al plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes, numeradas en sentido antihorario desde la región donde ambas coordenadas son positivas.
§2. La fórmula de la distancia¶
La noción de distancia entre dos puntos del plano se construye a partir de la distancia en una sola dimensión, ya definida en el §1.1 como \(d(a,b)=|b-a|\), combinada con el teorema de Pitágoras.
Proposición. La distancia entre \(P_1=(x_1,y_1)\) y \(P_2=(x_2,y_2)\) es
Demostración. Si \(y_1=y_2\), ambos puntos están sobre una misma horizontal, y la distancia entre ellos es, por el §1.1, \(|x_2-x_1|\); la fórmula da \(\sqrt{(x_2-x_1)^2+0}=\sqrt{(x_2-x_1)^2}=|x_2-x_1|\) por la proposición \(\sqrt{a^2}=|a|\) del §1.2, que coincide. El caso \(x_1=x_2\) es simétrico. En el caso general, constrúyase el punto auxiliar \(Q=(x_2,y_1)\): el segmento \(P_1Q\) es horizontal, de longitud \(|x_2-x_1|\), y el segmento \(QP_2\) es vertical, de longitud \(|y_2-y_1|\); ambos son perpendiculares entre sí, de modo que \(P_1\), \(Q\) y \(P_2\) forman un triángulo rectángulo con hipotenusa \(P_1P_2\). Por el teorema de Pitágoras,
donde la última igualdad usa que \(|a|^2=a^2\) para todo real \(a\), una consecuencia inmediata de la definición de valor absoluto del §1.1. Extrayendo raíz cuadrada —válida, pues el lado derecho es una suma de cuadrados, siempre no negativa— se obtiene la fórmula. \(\blacksquare\)
La distancia en el plano es, entonces, un caso genuinamente nuevo apenas en apariencia: en su estructura, es la misma idea de "diferencia medida sin signo" del §1.1, aplicada dos veces y combinada mediante Pitágoras.
Recordatorio. \(d(P_1,P_2) = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\). Es el teorema de Pitágoras aplicado a las diferencias de coordenadas, cada una una distancia unidimensional del §1.1.
§3. El punto medio¶
El punto medio del segmento que une \(P_1=(x_1,y_1)\) y \(P_2=(x_2,y_2)\) es el punto que equidista de ambos y yace sobre el segmento que los une:
Cada coordenada de \(M\) es, simplemente, el promedio de las coordenadas correspondientes —la misma noción de punto medio que ya es intuitiva sobre la recta real, aplicada por separado a cada eje—.
§4. La circunferencia¶
Una circunferencia de centro \((h,k)\) y radio \(r>0\) es, por definición, el conjunto de todos los puntos del plano que distan exactamente \(r\) del centro. Esa definición geométrica se traduce, mediante la fórmula de distancia del §2, directamente en una ecuación algebraica.
Proposición (ecuación canónica de la circunferencia). \((x,y)\) pertenece a la circunferencia de centro \((h,k)\) y radio \(r\) si y solo si
Demostración. Por definición, \((x,y)\) pertenece a la circunferencia exactamente cuando \(d\big((x,y),(h,k)\big)=r\). Por la fórmula del §2, esto equivale a \(\sqrt{(x-h)^2+(y-k)^2}=r\), y como ambos miembros son no negativos, elevar al cuadrado es aquí una operación reversible —a diferencia del caso general discutido en el §1.5, porque no hay signo que perder cuando ambos lados ya son no negativos—, dando \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\). \(\blacksquare\)
Con frecuencia esta ecuación no aparece en su forma canónica sino desarrollada, como \(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\). Recuperar el centro y el radio a partir de esa forma general exige, precisamente, la técnica de completar el cuadrado usada en el §1.3 para deducir la fórmula cuadrática —el mismo procedimiento algebraico, aplicado ahora dos veces, una por cada variable—.
Ejemplo. \(x^2+y^2-6x+4y+9=0\). Agrupando y completando el cuadrado en cada variable:
de donde el centro es \((3,-2)\) y el radio es \(\sqrt{4}=2\).
Recordatorio. \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) es, literalmente, "distancia al centro igual a \(r\)" escrito en símbolos. La forma general se reduce a la canónica completando el cuadrado, como en el §1.3.
§5. Simetría¶
Una curva es simétrica respecto del eje \(y\) si, para todo punto \((x,y)\) de la curva, también lo es \((-x,y)\); es simétrica respecto del eje \(x\) si lo acompaña \((x,-y)\); y es simétrica respecto del origen si lo acompaña \((-x,-y)\). Estas tres condiciones geométricas se verifican algebraicamente sustituyendo \(x\) por \(-x\), o \(y\) por \(-y\), o ambas a la vez, en la ecuación de la curva, y comprobando si la ecuación resultante es equivalente a la original.
Ejemplo. La circunferencia \(x^2+y^2=r^2\) es simétrica respecto de ambos ejes y respecto del origen, ya que sustituir \(x\to-x\), o \(y\to-y\), o ambas, deja la ecuación exactamente igual —consecuencia directa de que \((-a)^2=a^2\) para todo real \(a\), una de las propiedades de los signos ya establecidas en el §1.1—.
Con puntos, distancias y curvas ya traducidos al lenguaje algebraico, conviene hacer una pausa metodológica antes de continuar: la sección siguiente examina qué papel cumplen las calculadoras graficadoras y el software en este mismo trabajo, y qué cuidados exige delegar en ellos.