Precálculo¶
Fundamentos de Matemática¶
Demostrar es saber, además de qué es verdad, sobre qué descansa esa verdad.
Este libro reúne las herramientas algebraicas, geométricas y analíticas que el Cálculo da por conocidas, y las presenta como lo que son: una teoría. Parte de los axiomas de los números reales y llega hasta la irracionalidad de \(e\). En el camino, cada concepto se define antes de usarse y cada afirmación se demuestra o se señala expresamente como pendiente. Está escrito para estudiantes universitarios capaces, en la tradición de los tratados europeos de comienzos del siglo XX: en prosa continua, con las demostraciones completas y con la convicción de que entender por qué algo es verdad vale tanto como saber que lo es.
Admite tres lecturas. En la primera basta con recorrer los enunciados y los párrafos que los rodean para saber de qué trata cada sección y hacia dónde va. En la segunda se siguen las demostraciones y las explicaciones de cada símbolo, y se entiende por qué los resultados son ciertos. En la tercera se vuelve sobre los detalles: las hipótesis que cada prueba usa, los casos que excluye y las referencias que la conectan con el resto de la obra. Cada capítulo termina con un ensayo sobre la historia y la filosofía de sus ideas, que puede leerse por separado.
El recorrido¶
1. Conceptos Fundamentales. Los números reales y el axioma del supremo, exponentes, expresiones algebraicas, ecuaciones, desigualdades, el plano cartesiano y la recta.
2. Funciones. La definición conjuntista de función, dominio, gráficas, transformaciones, composición, inversas y optimización sin Cálculo.
3. Polinomios y Funciones Racionales. Ceros reales, la construcción de los números complejos, el Teorema Fundamental del Álgebra y las funciones racionales.
4. Funciones Exponenciales y Logarítmicas. La extensión de \(a^x\) a exponentes reales, la construcción de \(e\), los logaritmos y sus aplicaciones.
5. Funciones Trigonométricas de Números Reales. La construcción de \(\pi\) a la manera de Arquímedes, la función de enrollamiento y las seis funciones trigonométricas.
6. Funciones Trigonométricas de Ángulos. La medida de ángulos, el triángulo rectángulo y las leyes de los senos y de los cosenos.
7. Trigonometría Analítica. Identidades, fórmulas de adición, funciones inversas, ecuaciones trigonométricas, el teorema de De Moivre y los vectores.
8. Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades. La eliminación de Gauss, las matrices como transformaciones del plano, los determinantes y la programación lineal.
9. Las Cónicas como Lugares Geométricos. Parábola, elipse e hipérbola a partir de condiciones métricas, la excentricidad, la invariancia del discriminante y la ecuación polar desde el foco.
10. Inducción, Recurrencia y Sumas. Los números naturales como el menor conjunto inductivo, las definiciones por recurrencia, la serie geométrica, el teorema del binomio y el cierre de la obra.
Usá el menú lateral o las flechas de navegación al pie de cada página para avanzar por las secciones.
A mi esposa e hijos,
por el tiempo robado, la paciencia infinita
y el amor constante que hacen posible cada página.