Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.3 — Expresiones Algebraicas¶
Factorizar no es alterar una expresión, sino cambiar su perspectiva para hacer visible lo que estaba oculto.
Con los números reales fijados en el §1.1 y sus potencias y raíces extendidas en el §1.2, corresponde ahora dar el paso hacia el lenguaje simbólico del álgebra: combinar constantes y variables mediante las operaciones ya conocidas de \(\mathbb{R}\). Todo lo que sigue en esta sección se reduce, en el fondo, a dos movimientos opuestos entre sí. Desarrollar una expresión es transformar un producto en una suma, aplicando la distributividad hacia afuera; factorizar es exactamente el movimiento inverso, transformar una suma en un producto, aplicando la distributividad hacia adentro. Dominar el segundo movimiento —más difícil que el primero, porque exige reconocer una estructura oculta en lugar de simplemente ejecutar una regla— es el objetivo central de esta sección, y será la herramienta que sostenga la simplificación de expresiones fraccionarias en el §1.4 y la resolución de ecuaciones más adelante.
§1. Polinomios y sus elementos¶
Una expresión algebraica es, en general, cualquier combinación de constantes y variables ligadas por las operaciones ya definidas sobre \(\mathbb{R}\): suma, resta, producto, cociente y radicación. Dentro de esa familia amplia interesa distinguir un caso particular, el más regular de todos: el polinomio.
Un polinomio de grado \(n\) en la variable \(x\) es una expresión de la forma
donde \(n \in \mathbb{N}_0\) —recuérdese del §1.1 que \(\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\}\)—, los coeficientes \(a_0, a_1, \dots, a_n\) son reales, y \(a_n \neq 0\). Esta última condición no es accesoria: es precisamente la que fija cuál es el grado, ya que si el coeficiente de la potencia más alta fuera cero, ese término simplemente no estaría presente. Al coeficiente \(a_n\) se lo llama coeficiente principal, y a \(a_0\), término independiente; el grado del polinomio, denotado \(\text{gr}(P)\), es \(n\): la mayor potencia de \(x\) que aparece con coeficiente no nulo. Según el número de términos, un polinomio recibe nombres particulares —monomio si tiene uno solo, binomio si tiene dos, trinomio si tiene tres—, aunque esta nomenclatura es más una comodidad de lenguaje que una distinción estructural.
Conviene notar por qué la definición exige que \(n\) sea un entero no negativo, y no cualquier real. Esa restricción no es arbitraria: es exactamente la misma que se discutió al definir la potenciación con exponente entero en el §1.2 —una potencia \(a^n\) con \(n\) negativo o fraccionario introduce un cociente o un radical, y ninguna de esas dos operaciones forma parte de lo que un polinomio permite—. Por eso \(x^{-1}\) y \(\sqrt{x} = x^{1/2}\) no son términos polinómicos: no es que estén prohibidos por convención, sino que caen fuera de la definición por construcción.
Recordatorio. En un polinomio, los exponentes de la variable deben ser enteros no negativos. \(x^{-1}\) y \(\sqrt{x}=x^{1/2}\) no son términos polinómicos, por la misma razón que \(a^{-1}\) y \(a^{1/2}\) no son simples repeticiones de un producto.
§2. Productos notables¶
Ciertos productos de binomios aparecen con tanta frecuencia en el álgebra que conviene memorizar su forma desarrollada, para ejecutarlos de un solo paso en lugar de distribuir término a término cada vez. Para cualesquiera \(a, b \in \mathbb{R}\):
| Nombre | Identidad |
|---|---|
| Binomio al cuadrado | \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) |
| Diferencia de cuadrados | \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) |
| Binomio al cubo | \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\) |
| Suma de cubos | \((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\) |
| Diferencia de cubos | \((a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3\) |
Ninguna de estas identidades es un hecho aislado que deba memorizarse sin más: todas se siguen de la distributividad fijada como axioma en el §1.1, y vale la pena demostrarlo al menos una vez para las dos primeras, que son las más usadas.
Proposición. Para todo \(a, b \in \mathbb{R}\): \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\).
Demostración. Por definición de potencia, \((a+b)^2 = (a+b)(a+b)\). Aplicando la distributividad dos veces —primero sobre el factor exterior, luego sobre cada término—,
Como el producto en \(\mathbb{R}\) es conmutativo, \(ab=ba\), de modo que los dos términos centrales son iguales y se combinan: \(ab+ba = 2ab\). Por lo tanto, \((a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\). \(\blacksquare\)
Proposición. Para todo \(a, b \in \mathbb{R}\): \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\).
Demostración. Distribuyendo directamente,
y de nuevo por conmutatividad, \(-ab+ba = 0\), con lo cual los términos cruzados se cancelan por completo y queda \((a+b)(a-b) = a^2-b^2\). \(\blacksquare\)
Este segundo resultado merece una observación aparte: es el único de los cinco donde los términos cruzados no se combinan, sino que se cancelan exactamente. Esa cancelación total —y no una casualidad de notación— es lo que hace que la diferencia de cuadrados sea, como se verá en el §3, la más poderosa de las cinco identidades a la hora de factorizar.
Recordatorio. El trinomio cuadrado perfecto siempre incluye el doble producto: \((a+b)^2 \neq a^2+b^2\). La diferencia de cuadrados es la única identidad de esta lista donde los términos cruzados se cancelan del todo, no se combinan.
§3. Técnicas de factorización¶
Factorizar una expresión es escribirla como un producto de factores —habitualmente irreducibles sobre \(\mathbb{Z}\) o sobre \(\mathbb{R}\), según el contexto—, y es, literalmente, leer la distributividad de derecha a izquierda: donde desarrollar parte de \(a(b+c)\) y llega a \(ab+ac\), factorizar parte de \(ab+ac\) y busca reconstruir el \(a(b+c)\) que lo generó. No existe un único algoritmo que resuelva todos los casos; existe, en cambio, un orden razonable de intentos, que conviene recorrer en secuencia antes de rendirse.
Factor común. Es el primer intento y el más elemental: se extrae de cada término la máxima potencia común de cada variable y el máximo común divisor de los coeficientes, aplicando la distributividad en reversa, \(ax+ay = a(x+y)\). Por ejemplo, \(6x^3y^2 - 9x^2y^3 = 3x^2y^2(2x-3y)\): el factor \(3x^2y^2\) es exactamente lo más grande que ambos términos comparten.
Agrupación de términos. Cuando ningún factor es común a todos los términos a la vez, a veces sí lo es a subgrupos de ellos. Se reordenan los términos en bloques que compartan un factor, se factoriza cada bloque por separado, y si el resultado dejó expuesto un segundo factor común entre los bloques, se repite el procedimiento una vez más:
Diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos. Estas tres son, simplemente, las identidades del §2 leídas al revés:
Nótese lo que falta en esta lista: no hay una fórmula de factorización para la suma de cuadrados, \(a^2+b^2\). No es un olvido, sino una imposibilidad estructural dentro de \(\mathbb{R}\): intentar forzar \(a^2+b^2\) al molde de una diferencia de cuadrados exigiría escribirlo como \(a^2 - (-b^2)\), y eso requeriría un número real cuyo cuadrado fuera \(-b^2\), algo que, como se estableció en el §1.2, ningún real puede satisfacer. La expresión \(a^2+b^2\) es, por tanto, irreducible en \(\mathbb{R}\); volverá a aparecer, ya factorizable, cuando el sistema numérico se extienda más allá de los reales.
Trinomios de segundo grado. El caso más frecuente y el que exige más cuidado. Si el trinomio es mónico, \(x^2+bx+c\), factorizarlo equivale a encontrar dos reales \(r,s\) cuyo producto sea \(c\) y cuya suma sea \(b\):
Cuando el coeficiente principal no es \(1\), \(ax^2+bx+c\) con \(a \neq 1\), conviene apoyarse en el discriminante, \(\Delta = b^2-4ac\), cuyo origen no es arbitrario y vale la pena reconstruir. Partiendo de \(ax^2+bx+c=0\) con \(a \neq 0\), se divide por \(a\) y se completa el cuadrado:
El lado derecho es exactamente \(\Delta/4a^2\). Extraer la raíz cuadrada de ambos lados exige, por el §1.2, que ese lado derecho sea no negativo —de lo contrario, ningún real satisface la igualdad—, y produce, por la proposición \(\sqrt{a^2}=|a|\) demostrada allí, un signo \(\pm\) al despejar:
De aquí se sigue tanto la fórmula de las raíces como la condición de reducibilidad. Si \(\Delta \ge 0\), existen \(x_1,x_2 \in \mathbb{R}\) —iguales entre sí si \(\Delta=0\)— y el trinomio se factoriza como \(a(x-x_1)(x-x_2)\). Si \(\Delta<0\), la raíz cuadrada de \(\Delta\) no existe en \(\mathbb{R}\), ninguna de las dos ecuaciones tiene solución real, y el trinomio es irreducible en \(\mathbb{R}\): exactamente el mismo fenómeno de irreducibilidad que ya se observó para \(a^2+b^2\), ahora explicado desde su causa común, la imposibilidad de extraer raíces pares de un negativo.
Recordatorio. Al factorizar \(ax^2+bx+c\) mediante sus raíces, no hay que olvidar el coeficiente principal: \(a(x-x_1)(x-x_2)\), no \((x-x_1)(x-x_2)\) a secas. \(\Delta<0\) e irreducibilidad son la misma restricción de paridad del §1.2, vista desde otro ángulo.
Con los polinomios, sus productos notables y sus técnicas de factorización ya disponibles, el capítulo está en condiciones de extender estas herramientas a cocientes de polinomios: las expresiones fraccionarias, tema de la sección siguiente.