Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.4 — Expresiones Fraccionarias¶
Un cociente de polinomios hereda las reglas de una fracción numérica, pero también hereda su cuidado: no toda cancelación es lícita.
Con la factorización del §1.3 ya disponible, corresponde extenderla a su aplicación más inmediata: los cocientes de polinomios, o expresiones racionales. Todo lo dicho sobre fracciones de números reales en el §1.1 se traslada aquí casi sin cambios, con una sola diferencia de fondo: ahora el denominador es una expresión que depende de \(x\), de modo que la condición de no anularse ya no descarta un solo número, sino, en general, un conjunto de ellos.
§1. Expresiones racionales y su dominio¶
Una expresión racional es el cociente de dos polinomios, \(P(x)/Q(x)\), con \(Q(x) \neq 0\). Ese conjunto de valores prohibidos tiene nombre propio: el dominio de la expresión racional es el conjunto de los reales para los cuales el denominador no se anula,
Determinar el dominio exige, en general, factorizar \(Q(x)\) —de ahí que esta sección dependa por completo de la anterior— y descartar los valores de \(x\) que anulan cada factor.
Recordatorio. El dominio de una expresión racional se determina factorizando el denominador, no el numerador. Un valor queda excluido si anula a \(Q(x)\), sin importar qué haga con \(P(x)\).
§2. Simplificación¶
Simplificar una fracción racional consiste en factorizar por completo numerador y denominador y cancelar los factores que ambos comparten:
Esta cancelación es válida únicamente dentro del dominio original. Si \(R(x)\) se anulaba para algún valor de \(x\), ese valor queda excluido antes y después de simplificar, aunque la expresión simplificada, vista de manera aislada, ya no muestre por qué; es responsabilidad de quien simplifica arrastrar esa exclusión explícitamente, no de la nueva expresión, que no tiene memoria de dónde vino.
§3. Operaciones con expresiones racionales¶
Las operaciones entre expresiones racionales —producto, cociente y suma— siguen exactamente las mismas reglas fijadas para fracciones numéricas en el §1.1, ahora con \(A,B,C,D\) representando polinomios en vez de enteros:
En el caso de la suma es preferible, como con fracciones numéricas, hallar primero el mínimo común denominador —el producto de todos los factores primos presentes en los denominadores, cada uno elevado a su mayor exponente— antes de aplicar la fórmula general; usar directamente \(BD\) como denominador común siempre funciona, pero rara vez da el resultado ya simplificado.
§4. Fracciones complejas¶
Una fracción compleja es aquella en la que el numerador, el denominador, o ambos, contienen a su vez expresiones fraccionarias. Dos caminos, equivalentes entre sí, permiten reducirla a una fracción simple. El primero, la simplificación directa, consiste en operar por separado el numerador y el denominador hasta que cada uno quede expresado como una única fracción, y solo entonces aplicar la regla de la división de fracciones, \(\dfrac{A/B}{C/D} = \dfrac{AD}{BC}\). El segundo, el método del común denominador global, consiste en multiplicar tanto el numerador principal como el denominador principal por el mínimo común denominador de todas las fracciones individuales presentes, eliminando de un solo golpe todas las fracciones internas.
El siguiente ejemplo no es arbitrario: es, estructuralmente, el cálculo que sostiene la definición de derivada más adelante en el libro, y merece mirarse con atención por esa razón.
El paso decisivo, y el que más fácilmente se hace mal, es el último: se cancela el factor \(h\) entre numerador y denominador, no se cancela un sumando. Ese es, precisamente, el error que conviene desterrar de una vez, y por eso cierra esta sección en lugar de abrirla: es la síntesis de todo lo anterior —factorización, simplificación, operaciones— aplicado en un solo paso.
Recordatorio. Nunca se cancelan términos que se suman: \(\dfrac{a+b}{a} \neq 1+b\); correctamente, \(\dfrac{a+b}{a} = \dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{a} = 1+\dfrac{b}{a}\). Solo se cancelan factores multiplicativos completos, compartidos por numerador y denominador enteros.
Con el manejo de expresiones algebraicas y fraccionarias, el capítulo dispone ya de todo lo necesario —números, potencias, radicales y polinomios— para abordar con solvencia la resolución de ecuaciones en la sección siguiente.