Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.5 — Ecuaciones¶
Resolver una ecuación es preguntar para qué valores una afirmación deja de ser una posibilidad y pasa a ser un hecho.
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que involucra al menos una variable, y que en general no es verdadera para todo valor de esa variable, sino solo para algunos —o para ninguno—. Resolver la ecuación es hallar exactamente ese conjunto de valores, llamado conjunto solución. Con las herramientas algebraicas ya construidas —factorización en el §1.3, expresiones racionales en el §1.4— esta sección organiza los métodos de resolución según el tipo de expresión involucrada, prestando particular atención a un fenómeno que aparece recién aquí por primera vez: el de la solución extraña, un valor que satisface los pasos algebraicos pero no la ecuación original.
§1. Ecuaciones lineales¶
Una ecuación lineal en \(x\) es aquella que puede llevarse, mediante las propiedades algebraicas del §1.1, a la forma \(ax+b=0\) con \(a,b \in \mathbb{R}\). Si \(a \neq 0\), existe una única solución, \(x=-b/a\), obtenida despejando mediante el inverso aditivo y el multiplicativo. Si \(a=0\), la ecuación se reduce a \(b=0\): una afirmación sin variable, verdadera para todo \(x\) si \(b=0\) —infinitas soluciones—, o falsa para todo \(x\) si \(b\neq0\) —ninguna solución—. Este caso límite no es una curiosidad marginal: es el recordatorio de que "resolver" no siempre produce un único número, y conviene tenerlo presente antes de pasar a ecuaciones más complejas.
Recordatorio. \(ax+b=0\) tiene solución única si \(a\neq0\); si \(a=0\), la ecuación no depende de \(x\) y el resultado es "todo \(\mathbb{R}\)" o "ningún valor", según sea \(b=0\) o \(b\neq0\).
§2. Ecuaciones cuadráticas¶
Una ecuación cuadrática tiene la forma \(ax^2+bx+c=0\) con \(a\neq0\). El §1.3 ya provee las dos herramientas para resolverla: si el trinomio factoriza sobre \(\mathbb{R}\) —vía factor común, trinomio mónico, o cualquier otra técnica del §1.3—, la ecuación se resuelve usando que un producto es cero si y solo si alguno de sus factores lo es; si no factoriza a simple vista, la fórmula general \(x=(-b\pm\sqrt{\Delta})/2a\), ya deducida en el §1.3 completando el cuadrado, da la respuesta directamente, con \(\Delta=b^2-4ac\) decidiendo cuántas soluciones reales existen.
El primero de esos dos caminos se apoya en un hecho que rara vez se enuncia por separado, aunque se use en cada factorización: que \(\mathbb{R}\) no tiene divisores de cero.
Proposición (propiedad del producto nulo). Para \(a,b\in\mathbb{R}\): \(ab=0 \iff a=0\) o \(b=0\).
Demostración. La implicación hacia la izquierda es inmediata: si \(a=0\), entonces \(ab=0\cdot b=0\) por la propiedad del cero establecida en el §1.1; si \(b=0\), análogamente. Para la implicación hacia la derecha, supóngase \(ab=0\) y \(a\neq0\). Como \(a\neq0\), existe su inverso multiplicativo \(1/a\), garantizado por el §1.1. Multiplicando ambos miembros de \(ab=0\) por \(1/a\): \((1/a)(ab) = (1/a)\cdot0\), es decir \(b=0\). \(\blacksquare\)
Esta propiedad —y no un simple hábito de manipulación— es lo que legitima el paso de "\((x-3)(x+2)=0\)" a "\(x=3\) o \(x=-2\)": sin ella, un producto nulo no permitiría concluir nada sobre sus factores por separado. Nótese, de paso, que la demostración depende esencialmente de que todo real no nulo tenga inverso multiplicativo; en un sistema numérico sin esa garantía, la propiedad podría fallar.
Recordatorio. \(ab=0 \iff a=0\) o \(b=0\). Es la propiedad que hace funcionar la resolución por factorización, y se demuestra a partir de la existencia del inverso multiplicativo del §1.1 — no es una regla de manipulación arbitraria.
No hace falta repetir la deducción de la fórmula general aquí; sí vale la pena remarcar que ambos métodos son, en el fondo, el mismo: factorizar un trinomio y aplicar la fórmula general son dos caminos hacia idéntico destino, y la elección entre ellos es de conveniencia, no de principio.
§3. Ecuaciones con radicales¶
Una ecuación con radicales es aquella en la que la variable aparece bajo un signo \(\sqrt[n]{\ }\). El método estándar es aislar el radical y elevar ambos miembros a la potencia \(n\) para eliminarlo, apoyándose en la definición de raíz \(n\)-ésima del §1.2. Pero este paso, a diferencia de todos los usados hasta ahora, no es reversible sin más: introduce el riesgo de generar soluciones extrañas, y entender por qué es más importante que memorizar el procedimiento.
Proposición. Si \(\sqrt{f(x)} = g(x)\), elevar al cuadrado produce \(f(x) = g(x)^2\), cuyo conjunto solución puede ser estrictamente mayor que el de la ecuación original.
Demostración. Sea \(r\) una solución de \(f(x)=g(x)^2\). Como \(\sqrt{f(x)}\) está definido por el §1.2 como la raíz no negativa que satisface \(\left(\sqrt{f(x)}\right)^2=f(x)\), se tiene \(\sqrt{f(r)} = \sqrt{g(r)^2} = |g(r)|\), por la proposición \(\sqrt{a^2}=|a|\) demostrada en el §1.2. Si \(g(r) \ge 0\), entonces \(|g(r)|=g(r)\) y \(r\) resuelve también la ecuación original. Pero si \(g(r)<0\), entonces \(\sqrt{f(r)} = |g(r)| = -g(r) \neq g(r)\), y \(r\) satisface la ecuación elevada al cuadrado sin satisfacer la original. \(\blacksquare\)
La solución extraña, entonces, no es un error de cálculo: es una consecuencia necesaria de que elevar al cuadrado no es una operación inyectiva —el mismo fenómeno que obligó al signo \(\pm\) al despejar raíces cuadradas en el §1.3—, vista ahora desde el lado opuesto. La conclusión práctica es ineludible: toda solución obtenida al elevar una ecuación a una potencia par debe verificarse en la ecuación original, no en la elevada.
Ejemplo. \(\sqrt{x+3} = x-3\). Elevando al cuadrado, \(x+3=(x-3)^2 = x^2-6x+9\), es decir \(x^2-7x+6=0\), que factoriza como \((x-1)(x-6)=0\), dando \(x=1\) o \(x=6\). Verificando en la ecuación original: para \(x=6\), \(\sqrt{9}=3=6-3\) ✓; para \(x=1\), \(\sqrt{4}=2\), pero \(1-3=-2\neq2\) ✗. La solución \(x=1\) es extraña —es precisamente el caso \(g(r)<0\) de la demostración— y se descarta; el conjunto solución es \(\{6\}\).
Recordatorio. Elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas, porque no es una operación inyectiva —el mismo fenómeno de \(\sqrt{a^2}=|a|\) del §1.2—. Toda solución de una ecuación con radicales debe verificarse en la ecuación original, sin excepción.
§4. Ecuaciones con expresiones racionales¶
Cuando la variable aparece en un denominador, el procedimiento habitual es multiplicar ambos miembros por el mínimo común denominador para eliminar las fracciones, reduciendo la ecuación a una lineal o cuadrática ya conocida. Pero ese denominador que se elimina no desaparece sin dejar rastro: por el §1.4, la expresión original tiene un dominio que excluye los valores que anulan algún denominador, y la ecuación resultante, ya sin fracciones, no hereda automáticamente esa restricción.
Por eso toda solución obtenida debe contrastarse contra el dominio de la ecuación original —exactamente el mismo cuidado que exigía simplificar una expresión racional en el §1.4—, y descartarse si cae fuera de él, sin importar que satisfaga perfectamente la ecuación ya despejada de denominadores.
Ejemplo. \(\dfrac{x}{x-2} = \dfrac{2}{x-2}+1\). El dominio excluye \(x=2\). Multiplicando por \((x-2)\): \(x = 2+(x-2) = x\), una identidad válida para todo \(x\) salvo, precisamente, \(x=2\), que queda fuera del dominio desde el planteo. El conjunto solución es \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\), no "todo \(\mathbb{R}\)" como sugeriría leer solo la ecuación despejada.
Recordatorio. Multiplicar por el denominador puede introducir o disfrazar restricciones. Toda solución de una ecuación racional se contrasta contra el dominio del planteo original, tal como se hacía al simplificar en el §1.4.
Con los métodos de resolución ya establecidos, el capítulo está listo para su aplicación más directa: traducir problemas descritos en palabras al lenguaje de las ecuaciones, tarea de la sección siguiente.