Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.10 — Rectas¶
Toda la geometría de una recta está guardada en un solo número: cuánto sube por cada paso que avanza.
El capítulo cierra con el objeto más simple —y, por eso mismo, el más fundamental— de la geometría analítica del §1.8: la recta. Toda la información geométrica de una recta no vertical queda condensada en un único número, su pendiente, y esta sección construye, a partir de ese número, las distintas formas de escribir su ecuación, junto con las condiciones que rigen el paralelismo y la perpendicularidad entre dos rectas.
§1. La pendiente¶
Dados dos puntos distintos \(P_1=(x_1,y_1)\) y \(P_2=(x_2,y_2)\) de una recta no vertical —es decir, con \(x_1\neq x_2\)—, su pendiente se define como
el cociente entre cuánto cambia \(y\) y cuánto cambia \(x\) al desplazarse de un punto al otro. Antes de operar con este número conviene justificar algo que se usa constantemente sin demostrarse: que la pendiente no depende de qué dos puntos de la recta se elijan para calcularla.
Proposición. Si \(P_1,P_2,P_3\) son tres puntos distintos de una misma recta no vertical, la pendiente calculada con \(P_1,P_2\) coincide con la calculada con \(P_1,P_3\).
Demostración. Sean \(P_1=(x_1,y_1)\), \(P_2=(x_2,y_2)\), \(P_3=(x_3,y_3)\). Trazando, desde cada punto, segmentos horizontales y verticales como en la demostración de la fórmula de distancia del §1.8, se forman dos triángulos rectángulos —uno con hipotenusa \(P_1P_2\) y catetos \(x_2-x_1\), \(y_2-y_1\); otro con hipotenusa \(P_1P_3\) y catetos \(x_3-x_1\), \(y_3-y_1\)— que comparten el mismo ángulo en \(P_1\), pues los tres puntos están alineados. Dos triángulos rectángulos con un ángulo agudo igual son semejantes, y en triángulos semejantes los catetos correspondientes son proporcionales:
que es exactamente la igualdad buscada. \(\blacksquare\)
Esta proposición es la que legitima hablar de "la" pendiente de una recta, en singular, en lugar de "una pendiente calculada con estos dos puntos en particular".
Recordatorio. \(m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) no depende del par de puntos elegido, porque cualesquiera tres puntos de una recta forman triángulos semejantes. Por eso tiene sentido llamarla "la" pendiente.
§2. Ecuaciones de la recta¶
Conocida la pendiente \(m\) y un punto \((x_1,y_1)\) de la recta, cualquier otro punto \((x,y)\) de la misma recta satisface, por la propia definición de pendiente, \(m=\dfrac{y-y_1}{x-x_1}\), de donde
llamada forma punto-pendiente. Si el punto conocido es, en particular, la intersección con el eje \(y\) —es decir, \((0,b)\)—, la ecuación anterior se reduce a la forma pendiente-ordenada,
la más habitual para describir una recta cuando se conocen su inclinación y su altura de partida. Ambas formas son la misma ecuación, presentada con datos de partida distintos, y la elección entre una y otra es enteramente de conveniencia según qué información se tenga a mano.
§3. Rectas paralelas y perpendiculares¶
Dos rectas no verticales son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente. Esta condición se sigue casi directamente de la definición: dos rectas con igual inclinación nunca convergen ni se alejan una de otra, y su justificación completa pertenece más naturalmente a la geometría euclidiana que a esta sección, de modo que aquí se toma como conocida.
La condición de perpendicularidad, en cambio, es menos evidente y merece una demostración propia, apoyada en la fórmula de distancia del §1.8.
Proposición. Dos rectas no verticales, de pendientes \(m_1\) y \(m_2\), son perpendiculares si y solo si \(m_1 m_2 = -1\).
Demostración. Sin pérdida de generalidad, supóngase que ambas rectas pasan por el origen —trasladar ambas rectas no cambia sus pendientes ni el ángulo que forman entre sí—. Sobre la primera recta, tómese el punto \(A=(1,m_1)\); sobre la segunda, \(B=(1,m_2)\). Por el teorema de Pitágoras y su recíproco, el ángulo en el origen entre \(OA\) y \(OB\) es recto si y solo si
Calculando cada término mediante la fórmula del §1.8: \(d(O,A)^2=1+m_1^2\), \(d(O,B)^2=1+m_2^2\), y \(d(A,B)^2=(1-1)^2+(m_2-m_1)^2=(m_2-m_1)^2=m_2^2-2m_1m_2+m_1^2\). Sustituyendo en la condición de Pitágoras,
y cada paso es una equivalencia, de modo que el recíproco también vale: si \(m_1m_2=-1\), la igualdad de Pitágoras se cumple y el ángulo es recto. \(\blacksquare\)
Esta demostración es, en cierto sentido, la culminación del capítulo: usa la fórmula de distancia del §1.8, que a su vez usa el valor absoluto del §1.1, para establecer un hecho puramente algebraico —el producto de dos pendientes— a partir de una condición puramente geométrica —un ángulo recto—. Es exactamente el tipo de traducción que la geometría analítica promete desde su nombre.
Recordatorio. Rectas paralelas: \(m_1=m_2\). Rectas perpendiculares: \(m_1m_2=-1\) —equivalentemente, cada pendiente es el opuesto del recíproco de la otra—.
§4. La forma general¶
Toda recta del plano, incluidas las verticales —que no tienen pendiente definida, porque \(x_1=x_2\) anularía el denominador en la definición del §1—, puede escribirse en la forma general
con \(A\) y \(B\) no simultáneamente nulos. Si \(B\neq0\), despejando se recupera la forma pendiente-ordenada con \(m=-A/B\); si \(B=0\), la ecuación se reduce a \(x=-C/A\), una recta vertical, precisamente el caso que las formas del §2 no podían representar. La forma general es, así, la única de las presentadas en esta sección capaz de describir cualquier recta del plano sin excepción.
Con esto se cierra el Capítulo 1: los números reales, sus potencias y raíces, sus expresiones algebraicas y fraccionarias, sus ecuaciones y desigualdades, y la geometría analítica que las traduce al plano —incluida su figura más simple, la recta— quedan disponibles como cimiento para todo lo que sigue en el libro.