Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.2 — Exponentes y Radicales¶
El álgebra se vuelve potente cuando abreviamos la repetición.
En el §1.1 fijamos las reglas de la suma y el producto en \(\mathbb{R}\). Ahora damos un paso más. Así como, entre números naturales, la multiplicación abrevia una suma repetida, la potenciación abrevia un producto repetido. Esta sección cuenta cómo esa idea simple se extiende, sin perder coherencia en ningún paso, desde los exponentes naturales hasta los enteros y los racionales. En el camino aparecen los radicales, que deshacen la potenciación, y una pregunta que el §1.1 dejó abierta: por qué existe \(\sqrt{2}\).
§1. Potencias con exponente entero¶
Sean \(a \in \mathbb{R}\) y \(n \in \mathbb{N}\). La potencia \(a^n\) es el producto de \(n\) factores iguales a \(a\):
El número \(a\) se llama base y \(n\), exponente. Con un solo factor, \(a^1 = a\). Los puntos suspensivos de la fórmula tienen el mismo carácter que los de \(\mathbb{N}\) en el §1.1. Con todo rigor, \(a^n\) se define paso a paso, con \(a^1 = a\) y \(a^{n+1} = a^n \cdot a\), y el §10.2 prueba que esa definición es legítima. Esta definición cuenta factores y no dice nada, todavía, sobre exponentes cero o negativos.
Esos casos no se definen a capricho. Los definimos de la única manera que conserva una regla que las potencias naturales ya cumplen: si \(m > n\) y \(a \neq 0\), entonces \(a^m / a^n = a^{m-n}\), porque los \(n\) factores del denominador se cancelan con \(n\) de los \(m\) del numerador. Si queremos que la regla siga valiendo cuando \(m = n\), el lado izquierdo es \(a^n / a^n = 1\) y el derecho es \(a^0\). No queda otra opción que definir
Si ahora queremos que la regla valga con \(m = 0\), el lado izquierdo es \(a^0 / a^n = 1/a^n\) y el derecho es \(a^{-n}\). Eso obliga a definir el exponente negativo como
Así, \(a^{-n}\) es exactamente el inverso multiplicativo de \(a^n\), en el sentido del §1.1. Como el inverso de un producto es el producto de los inversos, también \(a^{-n} = (1/a)^n\).
La expresión \(0^0\) queda fuera de estas definiciones, porque el argumento que llevó a \(a^0 = 1\) divide por \(a\). En el Cálculo, "\(0^0\)" aparece como una forma indeterminada: expresiones que se acercan a esa forma pueden acercarse a valores distintos. En los contextos algebraicos, en cambio, conviene la convención \(0^0 = 1\), y así la usa el teorema del binomio del §10.5. En esta sección no la necesitamos, y dejamos \(0^0\) sin definir.
Recordatorio. \(a^0 = 1\) y \(a^{-n} = 1/a^n\), siempre con \(a \neq 0\). El exponente negativo invierte la potencia. \(0^0\) no está definido aquí.
§2. Las leyes de los exponentes¶
Para bases reales \(a\) y \(b\), no nulas cuando algún exponente es cero o negativo, y exponentes enteros \(m\) y \(n\), valen cinco leyes:
| Ley | Fórmula |
|---|---|
| Producto de igual base | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) |
| Cociente de igual base | \(a^m / a^n = a^{m-n}\) |
| Potencia de una potencia | \((a^m)^n = a^{mn}\) |
| Potencia de un producto | \((ab)^n = a^n b^n\) |
| Potencia de un cociente | \((a/b)^n = a^n/b^n\) |
Con exponentes naturales, cada ley es cuestión de contar factores. Multiplicar \(a^m\) por \(a^n\) es escribir \(m\) copias de \(a\) seguidas de \(n\) copias más, es decir, \(m + n\) copias. Elevar \(a^m\) a la \(n\) es repetir \(n\) veces el bloque de \(m\) copias, lo que da \(mn\) copias. Y en \((ab)^n\) la conmutatividad permite reordenar los \(n\) factores \(ab\) en \(n\) factores \(a\) seguidos de \(n\) factores \(b\).
Para exponentes enteros cualesquiera hay que verificar los casos que el conteo no cubre. Lo hacemos para la primera ley, y las demás se reducen a ella.
Producto de igual base. Si \(m, n \ge 0\), es el conteo anterior, con \(a^0 = 1\). Si \(m \ge 0 > n\) y \(m + n \ge 0\), entonces \(m = (m+n) + (-n)\) es suma de dos naturales o ceros, y por el caso anterior \(a^m = a^{m+n} a^{-n}\). Multiplicando por \(a^n\), que es el inverso de \(a^{-n}\), queda \(a^m a^n = a^{m+n}\). Si \(m \ge 0 > n\) y \(m + n < 0\), el caso anterior aplicado a \(-n = m + (-(m+n))\) da \(a^{-n} = a^m a^{-(m+n)}\), y tomando inversos, \(a^n = a^{-m} a^{m+n}\), de donde \(a^m a^n = a^{m+n}\). Si \(m, n < 0\), entonces \(a^m a^n = \dfrac{1}{a^{-m}a^{-n}} = \dfrac{1}{a^{-m-n}} = a^{m+n}\). El caso \(m < 0 \le n\) es simétrico.
Las otras cuatro. El cociente es el producto con \(a^{-n}\) en lugar de \(a^n\): \(a^m / a^n = a^m a^{-n} = a^{m-n}\). Para la potencia de una potencia con \(n \ge 0\), aplicamos \(n\) veces la ley del producto: \((a^m)^n = a^{m + \dots + m} = a^{mn}\). Si \(n = -k < 0\), entonces \((a^m)^{-k} = 1/(a^m)^k = 1/a^{mk} = a^{-mk}\). Para la potencia de un producto con \(n = -k < 0\), se tiene \((ab)^{-k} = \dfrac{1}{a^k b^k} = a^{-k} b^{-k}\). La del cociente es la del producto aplicada a \(a\) y \(1/b\).
Hay una tentación constante que conviene desactivar desde el principio: la potenciación no se distribuye sobre la suma ni sobre la resta. La igualdad \((a+b)^n = a^n + b^n\) no es una identidad cuando \(n \ge 2\): puede cumplirse para valores particulares, como \(b = 0\), pero falla en general. El caso \(n = 2\) es el más útil de recordar:
El término \(2ab\) es justamente lo que se pierde al "repartir" el exponente. Con \(a = b = 1\), el lado izquierdo vale \(4\) y \(a^2 + b^2\) vale \(2\).
Recordatorio. El exponente se distribuye sobre el producto y el cociente, nunca sobre la suma ni la resta: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
§3. Raíces \(n\)-ésimas¶
La potenciación responde a la pregunta "¿cuánto da \(b\) elevado a \(n\)?". La pregunta inversa, "¿qué número, elevado a \(n\), da \(a\)?", conduce a la radicación. Antes de dar un nombre a la respuesta hay que asegurarse de que existe y de que es única. Empezamos por la unicidad, que sale de una propiedad de orden.
Lema. Sea \(n \in \mathbb{N}\). Si \(0 \le x < y\), entonces \(x^n < y^n\).
Demostración. Multiplicando \(x < y\) por \(x \ge 0\) y por \(y > 0\) se obtiene \(x^2 \le xy < y^2\). Repitiendo el argumento, multiplicando \(x^k < y^k\) por \(x\) y por \(y\), se pasa de cada exponente al siguiente, hasta \(n\). \(\blacksquare\)
En consecuencia, dos números no negativos con la misma potencia \(n\)-ésima son iguales: si fueran distintos, el menor tendría la potencia menor.
Para la existencia hace falta algo que el álgebra sola no da: el axioma del supremo del §1.1. Es el momento de cumplir lo que allí prometimos.
Teorema. Sean \(n \in \mathbb{N}\) con \(n \ge 2\) y \(a \ge 0\). Existe un único real \(b \ge 0\) tal que \(b^n = a\).
Demostración. La unicidad es el lema. Para la existencia, si \(a = 0\) basta \(b = 0\), así que suponemos \(a > 0\). Usaremos una desigualdad: si \(0 \le x \le y\), entonces
Para verla, observemos que \(y^n - x^n = (y - x)(y^{n-1} + y^{n-2}x + \dots + x^{n-1})\). Al distribuir el producto de la derecha, cada término aparece una vez con signo más y una vez con signo menos, salvo \(y^n\) y \(-x^n\). El segundo factor tiene \(n\) sumandos, y cada uno es a lo sumo \(y^{n-1}\) porque \(x \le y\).
Sea \(T = \{x \ge 0 \mid x^n \le a\}\). Es no vacío, porque \(0 \in T\), y está acotado superiormente por \(1 + a\): si \(x > 1 + a\), entonces \(x > 1\), de modo que \(x^n \ge x > a\). Por el axioma del supremo, \(T\) tiene supremo; llamémoslo \(s\). Vamos a probar que \(s^n = a\) descartando las otras dos posibilidades.
Si fuera \(s^n < a\), tomemos \(h = \min\left\{\dfrac{1}{2},\ \dfrac{a - s^n}{2n(s+1)^{n-1}}\right\}\), que es positivo y menor que \(1\). Por la desigualdad con \(x = s\) e \(y = s + h \le s + 1\),
Luego \((s+h)^n < a\), así que \(s + h \in T\) y es mayor que \(s\), lo que contradice que \(s\) sea cota superior.
Si fuera \(s^n > a\), entonces \(s > 0\). Tomemos \(h = \min\left\{\dfrac{s}{2},\ \dfrac{s^n - a}{2n s^{n-1}}\right\}\), que es positivo y menor que \(s\). Por la desigualdad con \(x = s - h\) e \(y = s\),
Luego \((s-h)^n > a\). Todo \(x \in T\) cumple \(x^n \le a < (s-h)^n\), y por el lema \(x < s - h\). Así, \(s - h\) es una cota superior de \(T\) menor que \(s\), lo que contradice que \(s\) sea la menor. Descartadas ambas posibilidades, \(s^n = a\). \(\blacksquare\)
Con \(n = 2\) y \(a = 2\), el teorema dice que existe un único real positivo cuyo cuadrado es \(2\): es el número \(\sqrt{2}\) del §1.1, y su existencia descansa en el axioma del supremo.
Definición. Sean \(n \in \mathbb{N}\) con \(n \ge 2\) y \(a \ge 0\). La raíz \(n\)-ésima de \(a\), que se escribe \(\sqrt[n]{a}\), es el único real \(b \ge 0\) con \(b^n = a\). En la expresión \(\sqrt[n]{a}\), el signo \(\sqrt{\ }\) es el radical, \(n\) es el índice y \(a\) es el radicando. Con índice \(2\) el índice no se escribe: \(\sqrt{a}\) es la raíz cuadrada.
¿Y si el radicando es negativo? Aquí el índice marca una diferencia. Si \(n\) es par, \(b^n = (b^{n/2})^2 \ge 0\) para todo real \(b\), de modo que ningún real elevado a \(n\) da un número negativo. Los negativos no tienen raíz de índice par en \(\mathbb{R}\): \(\sqrt{-4}\) no es un número real. Si \(n\) es impar, en cambio, \((-b)^n = -b^n\), y el número \(-\sqrt[n]{-a}\) cumple \(\big(-\sqrt[n]{-a}\big)^n = -(-a) = a\). Por eso, para \(n\) impar y \(a < 0\), definimos \(\sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{-a}\). Por ejemplo, \(\sqrt[3]{-8} = -2\). Esta raíz también es única, porque con \(n\) impar la función \(x \mapsto x^n\) es estrictamente creciente en todo \(\mathbb{R}\): si \(x < 0 \le y\), entonces \(x^n < 0 \le y^n\), y si \(x < y < 0\), el lema aplicado a \(0 < -y < -x\) da \(-y^n < -x^n\).
La restricción del índice par tiene una consecuencia que suele pasar inadvertida y que conecta con el valor absoluto del §1.1.
Proposición. Para todo \(a \in \mathbb{R}\) y todo \(n\) par, \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\).
Demostración. El número \(|a|\) es no negativo y, como \(n\) es par, \(|a|^n = a^n\): si \(a \ge 0\) es inmediato, y si \(a < 0\), entonces \(|a|^n = (-a)^n = a^n\). Por la unicidad de la raíz, \(\sqrt[n]{a^n} = |a|\). \(\blacksquare\)
En particular, \(\sqrt{a^2} = |a|\), y no \(a\). El ejemplo numérico deja la trampa a la vista: \(\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3\), que es \(|-3|\) y no \(-3\).
Recordatorio. Para \(a \ge 0\), \(\sqrt[n]{a}\) es el único \(b \ge 0\) con \(b^n = a\); existe por el axioma del supremo. Con índice par, el radicando no puede ser negativo y el resultado es siempre \(\ge 0\). Con índice impar, \(\sqrt[n]{a} = -\sqrt[n]{-a}\) para \(a < 0\). Para todo \(a\), \(\sqrt{a^2} = |a|\).
§4. Exponentes racionales¶
Las raíces permiten extender la potenciación a exponentes racionales. Aquí hay que proceder con cuidado, porque la extensión funciona sin sorpresas solo cuando la base es positiva. Por eso empezamos con \(a > 0\).
Definición. Sean \(a > 0\), \(m \in \mathbb{Z}\) y \(n \in \mathbb{N}\). Definimos
Con \(n = 1\), entendiendo que \(\sqrt[1]{a} = a\), se recupera la potencia entera. El número \(a^{m/n}\) es positivo, y también puede calcularse como \(\sqrt[n]{a^m}\). En efecto, \(\big((\sqrt[n]{a})^m\big)^n = \big((\sqrt[n]{a})^n\big)^m = a^m\) por las leyes del apartado 2, y la unicidad de la raíz da \((\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\).
Antes de seguir hay que resolver un problema que la notación esconde. Un mismo racional se escribe de infinitas maneras: \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{4}\) y \(\frac{50}{100}\) son el mismo número. La definición parte de una de esas escrituras, \(\frac{m}{n}\), sin decir qué pasa si usamos otra. Para que el símbolo \(a^{m/n}\) tenga sentido, dos escrituras del mismo exponente deben dar el mismo número real. Eso no es automático; hay que demostrarlo.
Proposición (el exponente racional está bien definido). Sea \(a > 0\). Si \(\frac{m}{n} = \frac{p}{q}\), es decir, si \(mq = np\), entonces \(a^{m/n} = a^{p/q}\).
Demostración. Sean \(b = a^{m/n}\) y \(c = a^{p/q}\), ambos positivos. Elevamos cada uno a la potencia entera \(nq\) y usamos las leyes del apartado 2:
Como \(mq = np\), resulta \(b^{nq} = c^{nq}\), y como \(b\) y \(c\) son positivos, el lema del apartado 3 da \(b = c\). \(\blacksquare\)
Con la definición asegurada, las cinco leyes del apartado 2 valen para exponentes racionales cuando las bases son positivas. Para \(r\) y \(s\) racionales escribimos ambos con un mismo denominador, \(r = \frac{m}{n}\) y \(s = \frac{p}{n}\). Entonces el producto es la ley entera aplicada a la base \(\sqrt[n]{a}\):
Para la potencia de un producto, \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) es positivo y su potencia \(n\)-ésima es \(ab\), así que \(\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\) por unicidad; elevando a \(m\) se obtiene \((ab)^{m/n} = a^{m/n} b^{m/n}\). Para la potencia de una potencia, sea \(d = (a^{m/n})^{p/q}\). Entonces \(d^q = (a^{m/n})^p = a^{mp/n}\), luego \(d^{qn} = a^{mp}\), y como \(d > 0\), la unicidad da \(d = a^{mp/(nq)}\). El cociente se reduce al producto, como en el caso entero.
Ejemplo. \(8^{2/3} = \left(\sqrt[3]{8}\right)^2 = 2^2 = 4\), y también \(\sqrt[3]{8^2} = \sqrt[3]{64} = 4\).
¿Por qué excluir las bases negativas? Porque con ellas la definición deja de estar bien definida. Con índice impar, \((-8)^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = -2\) tiene sentido. Pero \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6}\), y la escritura \(\frac{2}{6}\) daría \(\sqrt[6]{(-8)^2} = \sqrt[6]{64} = 2\). El mismo exponente produciría dos valores distintos. Con bases negativas usamos, por lo tanto, solo radicales de índice impar, \(\sqrt[n]{a}\), y no la notación de exponente fraccionario.
Recordatorio. Para \(a > 0\): \(a^{m/n} = (\sqrt[n]{a})^m = \sqrt[n]{a^m}\), no depende de cómo se escriba la fracción, y valen todas las leyes de los exponentes. Con bases negativas, la notación \(a^{m/n}\) se evita.
§5. Simplificación de radicales¶
Las propiedades de los radicales son las leyes de los exponentes escritas con otra notación. Con radicandos no negativos, y \(b > 0\) en el cociente,
Las tres se prueban del mismo modo: el lado derecho es no negativo y, elevado al índice correspondiente, da el radicando; la unicidad de la raíz hace el resto. En la tercera, por ejemplo, \(\big(\sqrt[mn]{a}\big)^{mn} = a\) dice que \(\big(\sqrt[mn]{a}\big)^m\) es la raíz \(n\)-ésima de \(a\), y entonces \(\sqrt[mn]{a}\) es la raíz \(m\)-ésima de \(\sqrt[n]{a}\). Anidar dos raíces equivale, así, a una sola raíz cuyo índice es el producto de los índices.
La condición sobre los radicandos importa. Con índice par y radicandos negativos, la primera fórmula ni siquiera tiene sentido del lado derecho: \(\sqrt{(-2)(-8)} = \sqrt{16} = 4\), pero \(\sqrt{-2}\) y \(\sqrt{-8}\) no son números reales.
Decimos que un radical está simplificado cuando se cumplen tres condiciones. La primera es que del radicando se hayan extraído todos los factores que aparecen con exponente mayor o igual que el índice. La segunda, que el índice sea el menor posible. La tercera, que no queden radicales en ningún denominador. Por ejemplo, como \(72 = 36 \cdot 2 = 6^2 \cdot 2\), resulta \(\sqrt{72} = \sqrt{6^2}\sqrt{2} = 6\sqrt{2}\). Del mismo modo, \(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}\). Y como \(\sqrt[4]{9} = \sqrt{\sqrt{9}} = \sqrt{3}\), el índice \(4\) se reduce a \(2\). La tercera condición es el tema del próximo apartado.
§6. Racionalización de denominadores¶
Racionalizar una fracción es transformarla en otra igual cuyo denominador no tenga radicales. El procedimiento depende de si el denominador tiene uno o dos términos.
Un solo radical. Supongamos que el denominador es \(\sqrt[n]{a^k}\), con \(a > 0\) y \(0 < k < n\). Para que el radical desaparezca hay que completar la potencia \(n\)-ésima del radicando. Por eso multiplicamos numerador y denominador por \(\sqrt[n]{a^{n-k}}\):
Ejemplos. \(\dfrac{5}{\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{3}\), y \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{4}} = \dfrac{\sqrt[3]{4}}{2}\).
Dos términos. Supongamos que el denominador es \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) o \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\), con \(a, b \ge 0\) y \(a \neq b\). Aquí el recurso es otro: multiplicar por el conjugado, la misma expresión con el signo central cambiado. La diferencia de cuadrados, \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\), que se obtiene distribuyendo, hace que las raíces se eleven al cuadrado y desaparezcan:
La condición \(a \neq b\) garantiza que el denominador \(a - b\) no es cero. Con \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) en el denominador se procede igual, multiplicando por \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\). Por ejemplo, \(\dfrac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{5 - 2} = \dfrac{\sqrt{5} + \sqrt{2}}{3}\).
Recordatorio. Con un solo radical, multiplicamos para completar la potencia del índice. Con dos términos, multiplicamos por el conjugado: \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) no tiene raíces.
Con esto quedan fijados el manejo de potencias y raíces en \(\mathbb{R}\) y la existencia de las raíces. La sección siguiente aplica estas herramientas a las expresiones algebraicas: polinomios, productos notables y factorización.