Capítulo 7 - Trigonometría Analítica¶

El Capítulo 6 usó las funciones trigonométricas como instrumento de medición: calcular un lado, un ángulo, un área. Este capítulo las estudia como objetos algebraicos, sobre los que se opera. Qué relaciones valen para todos los ángulos, y por tanto pueden usarse sin volver a la circunferencia; qué le ocurre a un seno cuando su argumento se suma, se duplica o se divide; cómo se recupera un ángulo a partir de uno de sus valores; y cuándo una ecuación que los contiene tiene solución. La palabra analítica del título nombra ese cambio de mirada: de la figura al cálculo.

Al mismo tiempo, el capítulo salda deudas que el anterior fue dejando señaladas con corchetes. Las fórmulas de suma y resta exigen probar, y no dar por sabido, que las traslaciones y las rotaciones conservan la distancia, hecho sobre el que descansaban la independencia de las coordenadas en el §6.1 y la ley de los cosenos del §6.5. Las funciones inversas exigen demostrar antes que seno, coseno y tangente son inyectivas en intervalos adecuados. Y la forma polar de los números complejos y los vectores, que cierran el capítulo, muestran que un mismo hecho —sumar ángulos— se escribe de tres maneras distintas: como fórmula trigonométrica, como producto de complejos y como producto punto.

Contenido del capítulo¶

7.1 Identidades Trigonométricas: Identidad como igualdad de funciones con su dominio; identidades fundamentales; el medio giro y el cuarto giro de \(W\), que extienden a todo real los resultados del §6.3; método para demostrar identidades sin cometer falacias.
7.2 Fórmulas de Suma y Resta de Ángulos: Movimientos rígidos y la independencia de las coordenadas; el coseno de la diferencia demostrado desde la distancia entre dos puntos de la circunferencia; las demás fórmulas; las rotaciones como suma de ángulos.
7.3 Fórmulas para Ángulo Doble, Mitad de Ángulo y Producto-Suma: Corolarios de §7.2; fórmulas de reducción de potencias; conversión entre productos y sumas; monotonía de seno, coseno y tangente.
7.4 Funciones Trigonométricas Inversas: Biyectividad en intervalos, definición de \(\arcsin\), \(\arccos\) y \(\arctan\), sus propiedades y composiciones, y el cálculo de ángulos a partir de sus razones.
7.5 Ecuaciones Trigonométricas: Ecuaciones básicas con todas sus soluciones, métodos de reducción, soluciones extrañas, ángulos múltiples y la forma \(R\sin(x+\varphi)\).
7.6 Forma Trigonométrica de los Números Complejos y Teorema de De Moivre: Módulo y argumento, producto y cociente en forma polar, teorema de De Moivre y raíces \(n\)-ésimas.
7.7 Vectores: Vectores en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\), producto punto como \(|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta\), desigualdad de Cauchy–Schwarz, ángulo entre vectores y proyecciones.
7.8 Cierre - Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas: De la prostaféresis a los logaritmos, la fórmula de De Moivre y el nacimiento del cálculo vectorial; las oscilaciones y el análisis de Fourier; y el hecho único que las tres lecturas comparten.

"Una identidad es una igualdad que no depende de quién la mire: vale para todos los ángulos, y por eso puede usarse sin volver a la circunferencia."