Capítulo 8 - Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades¶

8.3 - Sistemas de Ecuaciones Lineales¶

La eliminación no es un truco de cálculo: es un algoritmo que termina siempre, y que al terminar revela cuántas soluciones hay antes de que se las haya encontrado.

Los sistemas de la sección anterior tenían dos incógnitas y dos ecuaciones, y la respuesta cabía en un número. Con más incógnitas y ecuaciones ya no hay una fórmula tan corta, pero sí hay un método que funciona siempre, el de eliminación gaussiana, y que además demuestra la tricotomía que la sección anterior anticipó: un sistema lineal tiene ninguna solución, una o infinitas, sin otra posibilidad. Esta sección define los sistemas lineales, demuestra que el método termina y prueba la tricotomía, y la interpreta geométricamente con planos en el espacio.

§1. Sistemas lineales¶

Definición. Una ecuación lineal en las incógnitas $x_1,\dots,x_n$ es una ecuación de la forma $a_1x_1+\dots+a_nx_n=b$ con $a_1,\dots,a_n,b$ números reales, los coeficientes y el término independiente. Un sistema lineal de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas es una lista de $m$ ecuaciones lineales, $$\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\dots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\dots+a_{2n}x_n=b_2\\ \quad\vdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\dots+a_{mn}x_n=b_m\end{cases}$$ donde $a_{ij}$ es el coeficiente de $x_j$ en la ecuación $i$. Se llama homogéneo si todos los $b_i$ son nulos, y todo sistema homogéneo tiene la solución trivial $x_1=\dots=x_n=0$.

Las operaciones elementales de la Proposición 1 del §8.1 se escriben abreviadamente: $E_i\leftrightarrow E_j$ intercambia dos ecuaciones, $E_i\leftarrow cE_i$ con $c\neq0$ multiplica una por una constante, y $E_j\leftarrow E_j+cE_i$ suma a la ecuación $j$ el múltiplo $c$ de la $i$. Transforman todo sistema en otro equivalente, y son las únicas operaciones que se usarán.

§2. Forma escalonada y el algoritmo de Gauss¶

Se llama incógnita principal de una ecuación a la primera incógnita, de izquierda a derecha, con coeficiente no nulo.

Definición. Un sistema lineal está en forma escalonada si las ecuaciones con algún coeficiente no nulo aparecen primero, con incógnitas principales $x_{j_1},x_{j_2},\dots,x_{j_r}$ que cumplen $j_1<j_2<\dots<j_r$, y a continuación aparecen las ecuaciones con todos los coeficientes nulos, de la forma $0=b$.

En un sistema escalonado, cada ecuación comienza más a la derecha que la anterior, de modo que el sistema se resuelve de abajo hacia arriba. El siguiente resultado dice que todo sistema puede llevarse a esa forma.

Teorema 1 (Gauss). Todo sistema lineal puede transformarse, mediante un número finito de operaciones elementales, en un sistema escalonado equivalente.

Demostración. Por inducción sobre el número $m$ de ecuaciones. Si $m=1$, la única ecuación ya es un sistema escalonado. Supóngase el resultado cierto para $m-1$ ecuaciones, y sea un sistema de $m$. Si todos los coeficientes de todas las ecuaciones son nulos, el sistema ya es escalonado. En caso contrario, sea $x_j$ la primera incógnita con coeficiente no nulo en alguna ecuación. Intercambiando ecuaciones, se la coloca en primer lugar, de modo que $a_{1j}=p\neq0$ y todos los coeficientes de las incógnitas anteriores a $x_j$ son nulos en todas las ecuaciones. Para cada $i\ge2$ se aplica $E_i\leftarrow E_i-\dfrac{a_{ij}}{p}E_1$, y con ello la incógnita $x_j$ desaparece de las ecuaciones $E_2,\dots,E_m$, que además siguen sin incógnitas anteriores a $x_j$. Estas $m-1$ ecuaciones forman un sistema en las incógnitas posteriores a $x_j$, al que se aplica la hipótesis de inducción; las operaciones que ella ordena no modifican $E_1$ y mantienen nulos los coeficientes de $x_1,\dots,x_j$ en las demás. El sistema resultante es escalonado, porque la incógnita principal de $E_1$ es $x_j$ y las de las demás son posteriores. $\blacksquare$

La demostración es un algoritmo: en cada paso se elige una incógnita principal, se la elimina de las ecuaciones que siguen, y se repite con lo que queda. Es la eliminación de la sección anterior, hecha de manera sistemática.

Recordatorio. Un sistema escalonado tiene incógnitas principales estrictamente crecientes, y las ecuaciones $0=b$ al final. Todo sistema lineal se lleva a esa forma, con operaciones elementales, eliminando cada incógnita principal de las ecuaciones que siguen.

§3. La tricotomía¶

Teorema 2. Un sistema lineal tiene ninguna solución, exactamente una, o infinitas soluciones.

Demostración. Por el Teorema 1, basta considerar un sistema escalonado, que es equivalente. Si contiene una ecuación $0=b$ con $b\neq0$, no tiene solución. Si no, se descartan las ecuaciones $0=0$, y quedan $r$ ecuaciones con incógnitas principales $x_{j_1},\dots,x_{j_r}$; las restantes $n-r$ incógnitas se llaman libres. Sea cualquier asignación de valores reales a las incógnitas libres. La última ecuación contiene a $x_{j_r}$ con coeficiente no nulo y solo incógnitas libres además de ella, luego determina un único valor de $x_{j_r}$. La anterior contiene a $x_{j_{r-1}}$ con coeficiente no nulo, y además incógnitas libres o principales posteriores, ya determinadas: determina un único valor de $x_{j_{r-1}}$. Repitiendo hacia arriba, cada asignación de las incógnitas libres se extiende de una única manera a una solución del sistema. Es decir, las soluciones están en correspondencia biunívoca con las asignaciones posibles a las $n-r$ incógnitas libres. Si $n-r=0$, hay exactamente una solución; si $n-r\ge1$, hay una por cada elección de valores reales de las libres, y por lo tanto infinitas. $\blacksquare$

La demostración da, además, una descripción explícita: las soluciones se escriben en función de las incógnitas libres, llamadas parámetros, y esa descripción es la solución general.

Corolario. Si un sistema lineal tiene menos ecuaciones que incógnitas, $m<n$, entonces es incompatible o tiene infinitas soluciones. En particular, un sistema homogéneo con menos ecuaciones que incógnitas tiene soluciones no triviales.

Demostración. En la forma escalonada, $r\le m<n$, de modo que hay al menos una incógnita libre. Si el sistema es compatible, tiene infinitas soluciones. Un sistema homogéneo siempre es compatible, por la solución trivial, y por lo tanto tiene infinitas, entre ellas no triviales. $\blacksquare$

Recordatorio. Un sistema lineal tiene $0$, $1$ o infinitas soluciones. Hay $0$ si al escalonar aparece $0=b$ con $b\neq0$; hay $1$ si no hay incógnitas libres; hay infinitas si las hay. Con menos ecuaciones que incógnitas, nunca hay solución única. {{Todo: rango de un sistema y de una matriz | Álgebra Lineal}}

§4. Tres sistemas de tres incógnitas¶

Solución única. Sea $$\begin{cases}x+y+z=2\\ 2x-y+3z=9\\ 3x+2y-z=-1\end{cases}$$ Se aplica $E_2\leftarrow E_2-2E_1$, que da $-3y+z=5$, y $E_3\leftarrow E_3-3E_1$, que da $-y-4z=-7$. Ahora se elimina $y$ de la tercera: $E_3\leftarrow3E_3$ da $-3y-12z=-21$, y $E_3\leftarrow E_3-E_2$ da $-13z=-26$. El sistema escalonado es $x+y+z=2$, $-3y+z=5$, $-13z=-26$, sin incógnitas libres. De abajo hacia arriba: $z=2$; de $-3y+2=5$, $y=-1$; y de $x-1+2=2$, $x=1$. La solución única es $(1,-1,2)$.

Infinitas soluciones. Sea $$\begin{cases}x+y+z=6\\ x-y+2z=5\\ 2x+3z=11\end{cases}$$ Con $E_2\leftarrow E_2-E_1$ se obtiene $-2y+z=-1$, y con $E_3\leftarrow E_3-2E_1$, $-2y+z=-1$. Al aplicar $E_3\leftarrow E_3-E_2$ resulta $0=0$, que se descarta. Quedan $x+y+z=6$ y $-2y+z=-1$, con $r=2$ ecuaciones y una incógnita libre, $z$. Con $z=t$, de la segunda $y=\dfrac{1+t}{2}$, y de la primera $x=6-\dfrac{1+t}{2}-t=\dfrac{11-3t}{2}$. La solución general es $$(x,y,z)=\left(\frac{11-3t}{2},\ \frac{1+t}{2},\ t\right),\qquad t\in\mathbb{R}$$ y se verifica en la tercera ecuación: $2x+3z=11-3t+3t=11$.

Sin solución. Si en el sistema anterior se cambia la tercera ecuación por $2x+3z=12$, los mismos pasos dan $-2y+z=0$ y, restando la segunda, $0=1$. El sistema es incompatible.

Un problema de ajuste. Se busca la parábola $y=ax^2+bx+c$ que pasa por $(0,1)$, $(1,0)$ y $(2,3)$. Sustituyendo, $c=1$, $a+b+c=0$ y $4a+2b+c=3$, es decir, con $c=1$: $a+b=-1$ y $4a+2b=2$. Con $E_2\leftarrow E_2-2E_1$ resulta $2a=4$, luego $a=2$, $b=-3$ y la parábola es $y=2x^2-3x+1$. Es la única parábola que pasa por esos tres puntos, porque el sistema no tiene incógnitas libres: tres puntos de abscisas distintas determinan un único polinomio de grado a lo sumo $2$.

§5. Interpretación geométrica: planos en el espacio¶

Una ecuación lineal en tres incógnitas $ax+by+cz=d$, con $(a,b,c)\neq(0,0,0)$, describe un plano. La razón es la misma que en el §8.2: si $\mathbf{n}=(a,b,c)$, la ecuación dice $\mathbf{n}\cdot X=d$ para $X=(x,y,z)$ (§7.7), y si $X_0$ es un punto que la cumple, $X$ la cumple si y solo si $\mathbf{n}\cdot(X-X_0)=0$, es decir, si $X-X_0$ es perpendicular a $\mathbf{n}$. Los puntos que se obtienen de $X_0$ por desplazamientos perpendiculares a un vector fijo forman un plano de vector normal $\mathbf{n}$.

Así, un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas pide la intersección de tres planos, y el Teorema 2 dice que solo cuatro configuraciones son posibles: los tres planos se cortan en un único punto, como las tres caras de un rincón de una habitación; se cortan a lo largo de una misma recta, como las hojas de un libro abierto; o coinciden todos en un plano; o no tienen ningún punto común, lo que ocurre si dos son paralelos y distintos, o si se cortan de a pares en tres rectas paralelas, formando un prisma. En el segundo sistema del §4, los tres planos comparten la recta descrita por la solución general; en el tercero, se cortan de a pares pero no tienen un punto común. Nunca ocurre que se corten en exactamente dos puntos, o en una circunferencia: el Teorema 2 lo excluye.

El método de eliminación no depende del tamaño del sistema, y cada paso, elegir una incógnita, eliminarla de las que siguen, repetir, es el mismo. Lo que hace tedioso a un sistema grande no es la idea sino la contabilidad: escribir una y otra vez las incógnitas, que no cambian, cuando solo cambian los coeficientes. Un sistema lineal es, en el fondo, una tabla de números, y la eliminación es un conjunto de operaciones sobre las filas de esa tabla. Tomar en serio esa observación conduce a estudiar las tablas como objetos con derecho propio, con sus propias operaciones, y ese es el paso que el resto del capítulo da.

Ese es el tema de la sección siguiente: las matrices, sus operaciones, y el hecho de que su producto es la composición de transformaciones del plano.