Capítulo 10 — Inducción, Recurrencia y Sumas¶
10.4 — La Suma de Infinitos Términos¶
Sumar infinitos números no es una operación, sino un límite; y como todo límite, puede existir o no.
La suma de dos números, o de mil, es una operación del álgebra. La suma de infinitos números no lo es. No hay manera de efectuarla término a término, y las reglas de la aritmética no dicen qué significa. La paradoja de Zenón, que niega que un corredor pueda cubrir una distancia porque antes debe cubrir la mitad, luego la mitad de lo que resta y así sin fin, es en el fondo una pregunta por el sentido de \(\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots\). Esta sección da ese sentido mediante el límite de las sumas parciales, en el formalismo \(\varepsilon\)–\(N\) ya disponible, y lo aplica a una sola serie, la geométrica. Con ella se prueba una afirmación que el §1.1 hizo sin demostración: que los números racionales son exactamente los de desarrollo decimal finito o periódico. La teoría general de series, con sus criterios de convergencia, pertenece al Cálculo.
§1. Series¶
Definición. Sea \((a_k)\) una sucesión, indexada desde \(k=0\) o desde \(k=1\). La serie de término general \(a_k\) es la sucesión de sus sumas parciales \(S_n=\sum_{k\leq n}a_k\). La serie converge a \(S\) si \(\lim_{n\to\infty}S_n=S\), y entonces se escribe
Si las sumas parciales no convergen, la serie diverge.
El símbolo \(\sum_{k=0}^{\infty}a_k\) no designa una suma, sino un límite. Las propiedades de las sumas finitas del §10.2 no se trasladan automáticamente a él, y algunas son falsas para series. Una sola propiedad general hace falta aquí.
Proposición. Si la serie \(\sum a_k\) converge, entonces \(\lim_{k\to\infty}a_k=0\).
Demostración. Sea \(S\) la suma y \(\varepsilon>0\). Existe \(N\) tal que \(|S_n-S|<\tfrac{\varepsilon}{2}\) para todo \(n>N\). Si \(n>N+1\), tanto \(n\) como \(n-1\) superan a \(N\), y como \(a_n=S_n-S_{n-1}\),
por la desigualdad triangular del §1.1. \(\blacksquare\)
La recíproca es falsa, pero su refutación requiere una serie que no es geométrica y queda para el Cálculo. Lo que la proposición da es un criterio para descartar: si los términos no tienden a cero, la serie diverge.
§2. La serie geométrica¶
El límite que decide todo es el de las potencias de un número de valor absoluto menor que uno. La desigualdad de Bernoulli del §10.1 §4 basta para calcularlo.
Lema. Si \(|r|<1\), entonces \(\lim_{n\to\infty}r^n=0\).
Demostración. Si \(r=0\) no hay nada que probar. Si \(0<|r|<1\), entonces \(\tfrac{1}{|r|}>1\) y puede escribirse \(\tfrac{1}{|r|}=1+h\) con \(h>0\). Por la desigualdad de Bernoulli, \((1+h)^n\geq 1+nh>nh\), y por lo tanto
Dado \(\varepsilon>0\), sea \(N=\tfrac{1}{h\varepsilon}\). Para \(n>N\) se tiene \(nh\varepsilon>1\), así que \(|r^n-0|<\tfrac{1}{nh}<\varepsilon\). \(\blacksquare\)
Teorema. La serie geométrica \(\sum_{k=0}^{\infty}r^k\) converge si y solo si \(|r|<1\), y en ese caso
Demostración. Supóngase \(|r|<1\). Por el §10.3 §2, la suma parcial hasta el término \(r^{n-1}\) es \(S_n=\tfrac{1-r^n}{1-r}\), y entonces
Dado \(\varepsilon>0\), el lema aplicado a \(\varepsilon\,|1-r|\) da un \(N\) tal que \(|r|^n<\varepsilon|1-r|\) para \(n>N\), y para esos \(n\) la distancia de \(S_n\) a \(\tfrac{1}{1-r}\) es menor que \(\varepsilon\). Recíprocamente, si \(|r|\geq 1\), entonces \(|r^k|=|r|^k\geq 1\) para todo \(k\), así que el término general no tiende a \(0\), y por la proposición del §1 la serie diverge. \(\blacksquare\)
La serie de Zenón es la geométrica de razón \(\tfrac12\) sin su primer término, así que \(\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots=\tfrac{1}{1-1/2}-1=1\). El corredor cubre la distancia completa. La paradoja no se resuelve observando que los intervalos de tiempo también se acortan, observación que ya hacía Aristóteles, sino dando un sentido preciso a la suma de infinitos intervalos, y ese sentido es el límite.
Arquímedes usó esta serie, sin nombrarla así, para calcular el área de un segmento de parábola. Inscribió en el segmento un triángulo, luego dos triángulos en los huecos que quedaban, luego cuatro, y probó que el área de cada nueva generación de triángulos es la cuarta parte de la anterior. El área del segmento resulta ser la del primer triángulo multiplicada por \(1+\tfrac14+\tfrac1{16}+\cdots=\tfrac{1}{1-1/4}=\tfrac43\). Arquímedes no escribió esa suma infinita. Probó, por un doble razonamiento por el absurdo, que el área no podía ser ni mayor ni menor que \(\tfrac43\) del triángulo, que es en sustancia el argumento del §10.3 §4: el valor es el único atrapado entre todas las aproximaciones.
Recordatorio. \(\sum_{k=0}^\infty r^k=\tfrac{1}{1-r}\) si \(|r|<1\); diverge si \(|r|\geq 1\). Una serie cuyo término general no tiende a \(0\) diverge.
§3. Desarrollos decimales¶
El §1.1 caracterizó los racionales como los números cuyo desarrollo decimal es finito o periódico, y los irracionales como los restantes, sin demostrarlo. Aquí se prueba, para números del intervalo \([0,1)\); el caso general se reduce a este restando la parte entera.
Definición. Sea \((d_k)_{k\geq 1}\) una sucesión de dígitos, es decir, de enteros entre \(0\) y \(9\). El número \(0{,}d_1d_2d_3\ldots\) es la suma de la serie
La serie siempre converge. Sus sumas parciales forman una sucesión creciente, porque sus términos son no negativos, y acotada, porque por el §10.3 §2 cada suma parcial es a lo sumo \(\sum_{k=1}^{n}\tfrac{9}{10^k}=1-\tfrac{1}{10^n}<1\). Una sucesión creciente y acotada converge a su supremo, por el mismo argumento con el axioma del supremo que sostuvo las construcciones de \(e\) en el capítulo 4 y de \(\pi\) en el capítulo 5. El desarrollo es periódico si existen \(m\geq 0\) y \(p\geq 1\) tales que \(d_{k+p}=d_k\) para todo \(k>m\). Los dígitos \(d_1,\ldots,d_m\) forman el anteperíodo y los \(p\) siguientes, el período. Es finito si sus dígitos son nulos a partir de cierto lugar, lo que es un caso particular de periódico, con período formado por el solo dígito \(0\).
Hace falta una observación sobre series. Agrupar los términos de una serie convergente en bloques consecutivos no cambia su suma: las sumas parciales de la serie agrupada son algunas de las sumas parciales de la original, forman una subsucesión, y una subsucesión de una sucesión convergente converge al mismo límite, porque la condición "\(|S_n-S|<\varepsilon\) para todo \(n>N\)" vale en particular para los índices de la subsucesión que superan a \(N\).
Teorema. Todo número con desarrollo decimal periódico es racional.
Demostración. Sea \(x=0{,}d_1\ldots d_m\overline{d_{m+1}\ldots d_{m+p}}\), con anteperíodo de \(m\) dígitos y período de \(p\) dígitos. Sean \(A\) el entero cuyas cifras son \(d_1\ldots d_m\) (con \(A=0\) si \(m=0\)) y \(B\) el entero cuyas cifras son \(d_{m+1}\ldots d_{m+p}\). Agrupando los términos de la serie en un primer bloque de \(m\) términos y después en bloques de \(p\), los bloques del período valen todos \(\tfrac{B}{10^{m+p}}\), \(\tfrac{B}{10^{m+2p}}\), \(\tfrac{B}{10^{m+3p}}\), y así sucesivamente, cada uno igual al anterior dividido por \(10^p\). Por la observación sobre agrupamiento y por el teorema del §2 con \(r=10^{-p}\),
un cociente de enteros. \(\blacksquare\)
Ejemplo. \(0{,}\overline{3}\) tiene \(m=0\), \(p=1\) y \(B=3\), así que vale \(\tfrac39=\tfrac13\). El número \(0{,}12\overline{34}\) tiene \(A=12\), \(B=34\), \(m=p=2\), y vale \(\tfrac{12\cdot 99+34}{9900}=\tfrac{1222}{9900}=\tfrac{611}{4950}\). Y \(0{,}\overline{9}\) vale \(\tfrac99=1\). Este último ejemplo, que suele provocar resistencia, es una consecuencia directa de la definición: \(0{,}\overline{9}\) es el límite de \(0{,}9\), \(0{,}99\), \(0{,}999\), y ese límite es \(1\). Muestra, además, que el desarrollo decimal no es único: \(1\) y \(0{,}\overline{9}\) son el mismo número, y lo mismo ocurre con todo número de desarrollo finito, como \(0{,}5=0{,}4\overline{9}\).
Teorema. Todo racional \(\tfrac{a}{q}\) con \(0\leq a<q\) enteros tiene un desarrollo decimal finito o periódico.
Demostración. Se construyen los dígitos por la división larga. Sea \(r_0=a\), y para cada \(k\geq 1\) sean \(d_k\) y \(r_k\) el cociente y el resto de dividir \(10\,r_{k-1}\) por \(q\), es decir, los únicos enteros con
Por el teorema de recursión del §10.2 esto define dos sucesiones. Como \(0\leq r_{k-1}<q\), se tiene \(0\leq 10\,r_{k-1}<10q\), así que \(0\leq d_k\leq 9\): son dígitos. Se prueba primero, por inducción en \(n\), que
Para \(n=0\) la suma es vacía y ambos miembros valen \(\tfrac{a}{q}\). Si vale para \(n\), se resta \(\tfrac{d_{n+1}}{10^{n+1}}\) a ambos miembros y se usa \(r_n=\tfrac{q\,d_{n+1}+r_{n+1}}{10}\), lo que da \(\tfrac{r_{n+1}}{q\,10^{n+1}}\). Como \(0\leq r_n<q\), la diferencia está entre \(0\) y \(\tfrac{1}{10^n}\), que tiende a \(0\) por el lema del §2. Por lo tanto \(\tfrac{a}{q}=0{,}d_1d_2d_3\ldots\)
Falta la periodicidad. Los restos \(r_0,r_1,\ldots,r_q\) son \(q+1\) números enteros entre \(0\) y \(q-1\). Por el principio del palomar del §10.1 §4, dos de ellos coinciden: existen \(i<j\leq q\) con \(r_i=r_j\). Como cada par \((d_{k+1},r_{k+1})\) depende solo de \(r_k\), se prueba por inducción en \(t\) que \(r_{i+t}=r_{j+t}\) y \(d_{i+t+1}=d_{j+t+1}\) para todo \(t\geq 0\). Con \(p=j-i\), eso significa que \(d_{k+p}=d_k\) para todo \(k>i\): el desarrollo es periódico, con período de longitud a lo sumo \(q\). Si algún resto es \(0\), todos los siguientes lo son, y el desarrollo es finito. \(\blacksquare\)
La prueba da más de lo que pedía el §1.1. Da una cota para el período: \(\tfrac{1}{7}=0{,}\overline{142857}\) tiene período \(6<7\), y ningún racional de denominador \(q\) puede tener período mayor que \(q-1\) una vez descartado el resto nulo. Y convierte en teorema la caracterización de los irracionales que el capítulo 1 usó como definición: un número real es irracional si y solo si su desarrollo decimal no es finito ni periódico. El principio del palomar, que parecía una trivialidad de conteo, resulta ser exactamente la razón por la que la división larga de enteros no puede dejar de repetirse.
Recordatorio. Racional si y solo si desarrollo decimal finito o periódico. Periódico implica racional por la serie geométrica; racional implica periódico por la división larga y el principio del palomar. \(0{,}\overline{9}=1\).
La serie geométrica es la suma infinita más simple. La sección siguiente estudia una suma finita con estructura propia, el desarrollo de \((a+b)^n\), y la usa para volver a \(e\) desde una suma infinita distinta, que además prueba su irracionalidad.