Capítulo 6 - Funciones Trigonométricas de Ángulos¶

6.1 - Medición de Ángulos¶

Un ángulo es una abertura; medirlo es decidir cuánta circunferencia cabe en ella.

El Capítulo 5 definió el seno y el coseno de un número real $t$ sin que en ningún momento hiciera falta la palabra ángulo: bastó una función $W$ que enrolla la recta real sobre la circunferencia unitaria. Esta sección introduce el ángulo y le asigna un número, y lo hace apoyándose por entero en lo ya construido: la medida de un ángulo será la longitud de un arco de esa circunferencia, es decir, un número real de los que $W$ ya sabe recibir. La pregunta de fondo no es qué es un radián, sino por qué la longitud de arco, y no otra elección, es la manera en que la geometría misma pide ser medida.

§1. El ángulo en posición estándar¶

Un ángulo, en su sentido geométrico más elemental, es el par de semirrectas que parten de un mismo punto, llamado vértice, y que se denominan lados. Esa noción no alcanza para la trigonometría, por tres razones. Los dos lados no desempeñan el mismo papel: hay que decidir desde cuál se empieza a medir. La medida debe distinguir el sentido del giro, porque girar un cuarto de vuelta hacia un lado y hacia el otro no lleva al mismo lugar. Y debe admitir giros de más de una vuelta, porque una rueda que gira lo hace muchas veces, y esa información no se recupera si solo se registra dónde termina el movimiento. Por eso se trabaja con ángulos que son, propiamente, giros.

Definición (ángulo en posición estándar). Sea $\theta\in\mathbb{R}$. El ángulo de medida $\theta$ radianes en posición estándar es el giro con vértice en el origen que lleva el lado inicial —la semirrecta positiva del eje de abscisas— hasta el lado final $\overrightarrow{OW(\theta)}$, la semirrecta que parte del origen y pasa por $W(\theta)$. Geométricamente, el giro recorre sobre la circunferencia unitaria, a partir de $W(0)=(1,0)$, un camino de longitud $|\theta|$ —un arco si $|\theta|\le2\pi$, y un arco precedido de vueltas completas si $|\theta|>2\pi$—: en sentido antihorario si $\theta>0$ y en sentido horario si $\theta<0$.

La convención de orientación es coherente con la construcción del §5.2. Para $\theta<0$, la periodicidad de $W$ da $W(\theta)=W(\theta+2\pi k)$ para todo entero $k$, y en particular el punto $W(-t)$ coincide con $W(2\pi-t)$: el que se alcanza avanzando $2\pi-t$ en sentido antihorario, que es el mismo que se alcanza retrocediendo $t$ en sentido horario.

Dos observaciones sobre esta definición. La primera es que la medida $\theta$ es, por construcción, un número real sin unidad de longitud: es la longitud de un arco de la circunferencia de radio $1$, y por tanto un número puro. La segunda es que $|\theta|$ puede superar $2\pi$: en tal caso el giro da más de una vuelta completa, y el lado final es el mismo que el de un ángulo menor, cuestión que se precisa en el §2.

Un ángulo con vértice $V$ cualquiera y lado inicial dado se lleva a posición estándar eligiendo el sistema de coordenadas con origen en $V$ y eje positivo de abscisas sobre el lado inicial. Que la medida no dependa de esa elección se sigue de que las traslaciones y rotaciones conservan las distancias, y por tanto las longitudes de arco. [Esta verificación se realiza en el §7.2 §1.]

Un ángulo en posición estándar: a la izquierda, con medida positiva y giro antihorario; a la derecha, con medida negativa y giro horario. El arco de la circunferencia unitaria entre W(0) y W(θ) tiene longitud |θ| Figura 6.1 — Ángulo en posición estándar. El lado inicial es la semirrecta positiva del eje $x$; el lado final pasa por $W(\theta)$, y el arco marcado tiene longitud $|\theta|$.

Recordatorio. Ángulo en posición estándar de medida $\theta$: giro que lleva el eje $x$ positivo hasta $\overrightarrow{OW(\theta)}$, recorriendo un arco unitario de longitud $|\theta|$, antihorario si $\theta>0$ y horario si $\theta<0$.

§2. Ángulos coterminales¶

Dos ángulos en posición estándar de medidas distintas pueden tener el mismo lado final: un giro de $\pi/6$ y uno de $\pi/6+2\pi$ terminan en el mismo lugar, aunque el segundo haya dado una vuelta completa más. Esto suscita una pregunta precisa: ¿cuándo coinciden los lados finales?

Definición. Dos ángulos en posición estándar de medidas $\theta$ y $\theta'$ son coterminales si tienen el mismo lado final, es decir, si $W(\theta)=W(\theta')$.

Proposición. Dos ángulos de medidas $\theta$ y $\theta'$ son coterminales si y solo si $\theta-\theta'=2\pi k$ para algún entero $k$.

Demostración. Si $\theta-\theta'=2\pi k$, entonces $W(\theta)=W(\theta'+2\pi k)=W(\theta')$ por la periodicidad de $W$ (§5.2). Recíprocamente, supóngase $W(\theta)=W(\theta')$. Por el lema arquimediano, existen enteros $m$ y $m'$ tales que $\theta=2\pi m+\alpha$ y $\theta'=2\pi m'+\alpha'$ con $\alpha,\alpha'\in[0,2\pi)$: basta tomar $m$ como el mayor entero con $2\pi m\le\theta$, y análogamente $m'$. Por la periodicidad, $W(\alpha)=W(\theta)=W(\theta')=W(\alpha')$. Pero $W$ es inyectiva en $[0,2\pi)$ (§5.2), luego $\alpha=\alpha'$, y por tanto $\theta-\theta'=2\pi(m-m')$, con $m-m'$ entero. $\blacksquare$

La demostración deja al descubierto algo más que el enunciado: todo ángulo tiene un único coterminal con medida en $[0,2\pi)$. Existe, por la construcción de $\alpha$ hecha arriba; es único porque dos medidas de $[0,2\pi)$ que difieren en un múltiplo entero de $2\pi$ deben diferir en $0$, ya que su diferencia tiene valor absoluto menor que $2\pi$. A ese $\alpha$ se lo llama la medida principal del ángulo, y reducir una medida a su medida principal es restar o sumar vueltas completas hasta caer en $[0,2\pi)$.

Ejemplos. Como $\dfrac{13\pi}{3}=4\pi+\dfrac{\pi}{3}$, el ángulo de medida $\dfrac{13\pi}{3}$ tiene medida principal $\dfrac{\pi}{3}$: da dos vueltas completas y un tercio de semivuelta. Como $-\dfrac{5\pi}{6}+2\pi=\dfrac{7\pi}{6}\in[0,2\pi)$, el ángulo de medida $-\dfrac{5\pi}{6}$ es coterminal con el de medida $\dfrac{7\pi}{6}$. Y como $\dfrac{25\pi}{4}=6\pi+\dfrac{\pi}{4}$, la medida principal de $\dfrac{25\pi}{4}$ es $\dfrac{\pi}{4}$.

Recordatorio. $\theta$ y $\theta'$ son coterminales $\iff$ $\theta-\theta'\in 2\pi\mathbb{Z}$. Cada ángulo tiene una única medida principal en $[0,2\pi)$.

§3. El radián y la longitud de arco¶

La definición del §1 mide todo ángulo con la circunferencia de radio $1$. Pero en cualquier problema concreto —una rueda, un compás, la trayectoria de un satélite— la circunferencia relevante tiene un radio $r$ arbitrario, y la pregunta natural es qué relación guardan el ángulo y el arco que el ángulo abarca en esa circunferencia. La respuesta es la más simple posible, y su demostración descansa en una sola idea: agrandar la figura multiplica todas las longitudes por el mismo factor.

Para $r>0$, la circunferencia de radio $r$ con centro en el origen es el conjunto $x^2+y^2=r^2$, y la longitud de sus arcos se define por el mismo procedimiento que en los §5.1 y §5.2 para la circunferencia unitaria: mediante poligonales inscritas y circunscritas. La homotecia de razón $r$ y centro en el origen es la aplicación $H_r(x,y)=(rx,ry)$. Es biyectiva, con inversa $H_{1/r}$, y transforma la circunferencia unitaria en la de radio $r$: si $x^2+y^2=1$, entonces $(rx)^2+(ry)^2=r^2$, y recíprocamente si $u^2+v^2=r^2$, el punto $(u/r,v/r)$ está en la circunferencia unitaria y $H_r$ lo lleva a $(u,v)$.

Proposición (escalamiento de la longitud de arco). Si $\Gamma$ es un arco de la circunferencia unitaria y $r>0$, entonces $H_r(\Gamma)$ es un arco de la circunferencia de radio $r$ y su longitud es $r$ veces la de $\Gamma$.

Demostración. Por la fórmula de distancia del §1.8, para todo par de puntos $P=(x_1,y_1)$ y $Q=(x_2,y_2)$, $$d\big(H_r(P),H_r(Q)\big)=\sqrt{(rx_1-rx_2)^2+(ry_1-ry_2)^2}=r\cdot d(P,Q)$$ de modo que $H_r$ multiplica por $r$ toda distancia entre puntos. Como $H_r$ es biyectiva y conserva el orden de los puntos sobre el arco, transforma cada poligonal inscrita en $\Gamma$ en una poligonal inscrita en $H_r(\Gamma)$, y toda poligonal inscrita en $H_r(\Gamma)$ es la imagen de una inscrita en $\Gamma$, tomando $H_{1/r}$. Cada lado de la poligonal se multiplica por $r$, y por tanto también su perímetro: el conjunto de los perímetros de las poligonales inscritas en $H_r(\Gamma)$ es exactamente el conjunto de perímetros de las inscritas en $\Gamma$, multiplicado por $r$. Lo mismo vale para las circunscritas, porque $H_r$ transforma rectas en rectas y conserva la propiedad de tocar a la circunferencia en un único punto. Finalmente, si $A$ es un conjunto acotado de reales y $r>0$, entonces $\sup(rA)=r\sup A$ e $\inf(rA)=r\inf A$: $r\sup A$ es cota superior de $rA$, y ninguna cota menor lo es, porque dividida por $r$ daría una cota superior de $A$ menor que $\sup A$. La longitud de $H_r(\Gamma)$ es, entonces, $r$ veces la de $\Gamma$. $\blacksquare$

Corolario. Sea $0\le\theta\le2\pi$. En la circunferencia de radio $r$, el arco que abarca un ángulo central de medida $\theta$ tiene longitud $$s=r\theta$$ y, en particular, la circunferencia completa tiene longitud $2\pi r$.

Demostración. En la circunferencia unitaria, el arco que va de $W(0)$ a $W(\theta)$ tiene longitud $\theta$, porque así es como $W$ está definida (§5.2). La homotecia $H_r$ lo transforma en un arco de la circunferencia de radio $r$, y deja invariantes las semirrectas que parten del origen, de modo que el ángulo central es el mismo. Por la proposición, la longitud del arco imagen es $r\theta$. Para $\theta=2\pi$ resulta la circunferencia completa, de longitud $2\pi r$. $\blacksquare$

El corolario se enunció para $0\le\theta\le2\pi$ porque en ese rango el giro recorre un arco de la circunferencia, un subconjunto de ella. Pero la definición del §1 admite cualquier $\theta\in\mathbb{R}$, y para tales medidas lo que se mide es la longitud del camino recorrido, que puede dar varias vueltas o tener sentido horario.

Corolario (longitud recorrida). Para todo $\theta\in\mathbb{R}$, el giro de medida $\theta$ sobre la circunferencia de radio $r$ recorre un camino de longitud $r|\theta|$. Con signo, la longitud orientada es $s=r\theta$, positiva en sentido antihorario y negativa en sentido horario.

Demostración. Para $0\le\theta\le2\pi$ es el corolario anterior. Si $\theta<0$ y $|\theta|\le2\pi$, la reflexión $(x,y)\mapsto(x,-y)$ conserva la distancia, por la fórmula del §1.8, y transforma el arco antihorario de medida $|\theta|$ en el arco horario del mismo tamaño; conserva, por tanto, la longitud de las poligonales inscritas y circunscritas, y el camino recorrido mide $r|\theta|$. Si $|\theta|>2\pi$, por el lema arquimediano existen un entero $m\ge1$ y $\alpha\in[0,2\pi)$ con $|\theta|=2\pi m+\alpha$: el giro consiste en $m$ vueltas completas, cada una de longitud $2\pi r$, seguidas de un arco de medida $\alpha$ y longitud $r\alpha$. La longitud de un camino compuesto por tramos sucesivos es la suma de las longitudes de los tramos, de modo que el total es $2\pi rm+r\alpha=r|\theta|$. $\blacksquare$

El contenido del primer corolario, dicho de otro modo, es que el cociente $s/r$ no depende de la circunferencia elegida: depende solo del ángulo. Es esto lo que hace que la medida esté bien definida: el número $\theta=s/r$ es el mismo cualquiera sea el radio con que se lo calcule. También muestra que $\theta$ carece de unidad, pues es el cociente de dos longitudes. De ahí la denominación:

Definición. Un radián es la medida del ángulo central que abarca, en cualquier circunferencia con centro en su vértice, un arco de longitud igual al radio. Por el corolario, es el ángulo de medida $\theta=1$.

Con $\theta$ en radianes, la fórmula $s=r\theta$ no lleva constante alguna. Esa es la razón de fondo por la que el radián no es una unidad más entre otras posibles: es la que hace que la longitud de arco sea directamente el producto del radio por el ángulo, y la que hace que, en el Capítulo 5, $t$ fuera al mismo tiempo el número real de entrada de las funciones trigonométricas y la longitud del arco recorrido.

Dos circunferencias concéntricas, de radios 1 y r, con el mismo ángulo central θ. El arco de la circunferencia unitaria mide θ y el de la circunferencia de radio r mide rθ Figura 6.2 — La homotecia $H_r$ lleva la circunferencia unitaria a la de radio $r$ sin alterar el ángulo central: el arco de longitud $\theta$ se transforma en uno de longitud $r\theta$.

Ejemplos. En una circunferencia de radio $r=5$, un ángulo central de $\dfrac{2\pi}{3}$ abarca un arco de longitud $s=5\cdot\dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{10\pi}{3}\approx 10{,}47$. Recíprocamente, un arco de longitud $6$ en una circunferencia de radio $4$ corresponde a un ángulo central $\theta=\dfrac{6}{4}=\dfrac32$ radianes.

La fórmula tiene una hermana: el área del sector circular, $A=\tfrac12r^2\theta$. Su demostración rigurosa exige una noción de área para regiones de borde curvo, que este libro todavía no ha construido, y hacerlo aquí obligaría a un desvío de la misma envergadura que la construcción de $\pi$. Puede, sin embargo, anticiparse con una heurística de proporcionalidad, que se ofrece como orientación y no como demostración: el sector de ángulo $\theta$ ocupa la fracción $\theta/2\pi$ de la vuelta completa, y si su área es la misma fracción de la del círculo, resulta $A=\dfrac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2=\tfrac12r^2\theta$. El argumento presupone dos hechos que aquí no están demostrados: que el área del círculo completo es $\pi r^2$, y que el área de un sector es proporcional a su ángulo. Su justificación formal requiere construir el área por aproximación mediante sectores poligonales, como el §5.1 hizo con el perímetro, o el cálculo integral. {{Todo: área del sector circular $A=\tfrac12 r^2\theta$ con demostración | §6.1 §3, tras el corolario; construir el área por aproximación poligonal o diferirla a Cálculo Integral}}

Recordatorio. En la circunferencia de radio $r$, un ángulo central de $\theta$ radianes ($0\le\theta\le2\pi$) abarca un arco de longitud $s=r\theta$; para cualquier $\theta\in\mathbb{R}$, el giro recorre un camino de longitud $r|\theta|$, con signo $s=r\theta$. La fórmula se demuestra porque la homotecia multiplica las longitudes por $r$ sin alterar el ángulo. Un radián: ángulo cuyo arco mide un radio.

§4. El grado como cambio de escala¶

El radián es la medida que la construcción produce; el grado es la medida que la tradición heredó, y conviene precisar con exactitud en qué relación están.

Definición. Un grado es la $360$-ava parte de una vuelta completa: $1^\circ=\dfrac{2\pi}{360}=\dfrac{\pi}{180}$ radianes. El grado se subdivide en $60$ minutos ($1^\circ=60'$) y el minuto en $60$ segundos ($1'=60''$).

De la definición se sigue la conversión entre ambas escalas, que es un simple cambio de escala lineal: $$\theta_{\text{rad}}=\frac{\pi}{180} \theta_{\text{gr}}\qquad\qquad\theta_{\text{gr}}=\frac{180}{\pi} \theta_{\text{rad}}$$ donde el $\pi$ que interviene es el construido en el §5.1. Una vuelta completa vale, así, $2\pi$ radianes o $360^\circ$; media vuelta, $\pi$ radianes o $180^\circ$.

Ejemplos. $150^\circ=150\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{6}$ radianes. Recíprocamente, $\dfrac{7\pi}{4}$ radianes equivalen a $\dfrac{7\pi}{4}\cdot\dfrac{180}{\pi}=315^\circ$. Y $37^\circ30'=37{,}5^\circ=37{,}5\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{5\pi}{24}$ radianes. En cuanto a un ángulo que en radianes vale $1$, mide $\dfrac{180}{\pi}\approx57{,}30^\circ$.

Una advertencia de notación previene un error frecuente. Cuando una medida se escribe sin unidad, se entiende que está en radianes, en coherencia con el Capítulo 5, donde el argumento de $\sin$ es un número real. Cuando se escribe con el signo de grado, $\sin\theta^\circ$ es, por definición, $\sin\big(\tfrac{\pi\theta}{180}\big)$: no una función nueva, sino la composición del §2.6 de $\sin$ con la función lineal $\theta\mapsto\pi\theta/180$. En particular, $\sin 30$ y $\sin 30^\circ$ son números distintos: el primero es el seno del número $30$, el segundo el del número $\pi/6\approx0{,}5236$.

La elección del $360$ es una convención histórica, de raíz babilónica, cuya ventaja práctica es que $360$ tiene muchos divisores y permite nombrar con enteros gran cantidad de fracciones de vuelta. Esa comodidad aritmética es real pero de otro orden que la del radián: el grado es un idioma, el radián es la medida misma. La prueba está en las fórmulas. Todo lo que la geometría dice sobre ángulos y arcos toma su forma más simple en radianes, y en grados acarrea el factor $\pi/180$.

Recordatorio. $1^\circ=\pi/180$ radianes; $\theta_{\text{rad}}=\frac{\pi}{180}\theta_{\text{gr}}$. Sin unidad, la medida está en radianes. $\sin\theta^\circ=\sin\big(\frac{\pi\theta}{180}\big)$.

§5. Aplicación: el movimiento circular uniforme¶

La fórmula $s=r\theta$ se convierte, aplicada al movimiento, en la relación entre dos maneras de medir la rapidez de algo que gira. Un punto se mueve sobre una circunferencia de radio $r$ con movimiento circular uniforme si recorre arcos iguales en tiempos iguales, es decir, si la longitud de arco recorrida es proporcional al tiempo: $s=vt$, donde la constante $v$ es la rapidez lineal. El ángulo barrido en el instante $t$ es, por el corolario de la longitud recorrida del §3, que vale para cualquier número de vueltas, $$\theta=\frac{s}{r}=\frac{v}{r} t=\omega t,\qquad\text{con}\qquad\omega=\frac{v}{r}$$ y la constante $\omega$ es la rapidez angular: los radianes barridos por unidad de tiempo. La relación entre ambas es, entonces, $$v=r\omega$$ y no es una ley física sino la fórmula $s=r\theta$ dividida por el tiempo.

Ejemplo. Una rueda de radio $0{,}3$ m gira a $120$ revoluciones por minuto. Cada revolución son $2\pi$ radianes, de modo que $\omega=120\cdot2\pi=240\pi$ radianes por minuto. Como un minuto tiene $60$ segundos, $$\omega=\frac{240\pi\ \text{rad}}{60\ \text{s}}=4\pi\ \text{rad/s}$$

Un punto del borde tiene rapidez lineal $v=r\omega=0{,}3\cdot4\pi=1{,}2\pi\approx3{,}77$ metros por segundo. Todos los puntos de la rueda comparten el mismo $\omega$, pero no el mismo $v$: uno situado a mitad del radio se mueve a la mitad de esa rapidez.

Vale la pena notar que $v=r\omega$ solo se cumple con $\omega$ en radianes por unidad de tiempo. Si la rapidez angular se expresara en grados por segundo, aparecería en la fórmula el factor $\pi/180$: es el mismo hecho del §4, visto en movimiento.

Recordatorio. Movimiento circular uniforme: $\theta=\omega t$ y $v=r\omega$, con $\omega$ en radianes por unidad de tiempo.

Una circunferencia, un radio y un arco parecen tres datos independientes, y la proposición del §3 dice que no lo son: fijado el ángulo, el cociente entre arco y radio es una constante que pertenece al ángulo y no a la circunferencia. Esa invariancia ante el cambio de escala es la razón por la que puede hablarse de la medida de un ángulo sin mencionar el tamaño de ninguna figura, y es también el corazón de la semejanza: dos figuras semejantes difieren en escala pero no en ángulos, y toda cantidad que dependa solo de los ángulos —como un cociente entre lados— será la misma en ambas. Queda abierta la pregunta de si esa independencia respecto de la escala, que aquí se demostró para arcos y radios, alcanza también a los cocientes entre los lados de un triángulo.

Con la medida de ángulos ya precisada, el capítulo se dirige a esa última pregunta: por qué las razones entre los lados de un triángulo rectángulo dependen únicamente de sus ángulos, y por qué coinciden con las coordenadas de $W(t)$. Ese es el tema de la sección siguiente.