Capítulo 7 - Trigonometría Analítica¶

7.4 - Funciones Trigonométricas Inversas¶

Ninguna función periódica tiene inversa; pero cada una tiene tramos en los que sí, y elegirlos bien es lo que convierte un valor en un ángulo.

El Capítulo 6 dejó señalada varias veces una operación que faltaba: dado el valor de una razón trigonométrica, encontrar el ángulo. Es el problema inverso al que resuelven las funciones trigonométricas. El §2.7 enseñó cuándo una función admite inversa: cuando es inyectiva y, ajustado el codominio, sobreyectiva. Las funciones trigonométricas no lo son, porque son periódicas y repiten cada valor infinitas veces. La solución es la misma que allí se dio para $x^2$: restringir la función a un intervalo donde sea inyectiva, y elegir ese intervalo de manera canónica.

§1. Biyectividad en intervalos¶

Proposición. Las siguientes funciones son biyectivas: $$\sin:\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\to[-1,1]\qquad\cos:[0,\pi]\to[-1,1]\qquad\tan:\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)\to\mathbb{R}$$

Demostración. La inyectividad se sigue de la monotonía estricta de cada función en su intervalo, demostrada en el §7.3 §4: una función estrictamente monótona toma cada valor a lo sumo una vez. Falta la sobreyectividad. Por el lema del §6.3 §3, $W$ transforma $[-\pi/2,\pi/2]$ en la semicircunferencia derecha cerrada, formada por los puntos de la circunferencia unitaria con abscisa no negativa, y $[0,\pi]$ en la semicircunferencia superior cerrada, de ordenada no negativa. Dado $y\in[-1,1]$, el punto $\big(\sqrt{1-y^2}, y\big)$ está en la circunferencia y en la semicircunferencia derecha, luego es $W(t)$ para algún $t\in[-\pi/2,\pi/2]$, y $\sin t=y$. Del mismo modo, dado $x\in[-1,1]$, el punto $\big(x,\sqrt{1-x^2}\big)$ está en la semicircunferencia superior, luego es $W(t)$ con $t\in[0,\pi]$, y $\cos t=x$. Para la tangente, dado $y\in\mathbb{R}$, el punto $\dfrac{(1,y)}{\sqrt{1+y^2}}$ está en la circunferencia y tiene abscisa positiva, luego es $W(t)$ con $t\in(-\pi/2,\pi/2)$, y $\tan t=\dfrac{y/\sqrt{1+y^2}}{1/\sqrt{1+y^2}}=y$. $\blacksquare$

Definición. Las funciones inversas de estas tres restricciones se llaman arcoseno, arcocoseno y arcotangente, y se denotan $$\arcsin:[-1,1]\to\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]\qquad\arccos:[-1,1]\to[0,\pi]\qquad\arctan:\mathbb{R}\to\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$$ Es decir, para $y\in[-1,1]$, $\arcsin y$ es el único ángulo de $[-\pi/2,\pi/2]$ cuyo seno es $y$, y análogamente para las otras dos.

Las gráficas se obtienen, como en el §2.7 §4, reflejando las de las restricciones respecto de la recta $y=x$.

Gráficas de arcsen en [−1,1] con imagen [−π/2, π/2], arccos en [−1,1] con imagen [0, π] y arctan en todo R con imagen (−π/2, π/2), con las asíntotas horizontales y = ±π/2 Figura 7.3 — Las tres funciones inversas. $\arcsin$ es creciente e impar, $\arccos$ es decreciente, y $\arctan$ es creciente, impar y acotada, con asíntotas horizontales en $\pm\pi/2$.

Dos advertencias de notación. La escritura $\sin^{-1}y$, frecuente en las calculadoras, significa $\arcsin y$ y no $\dfrac{1}{\sin y}$, que es $\csc y$. Y las funciones $\csc$, $\sec$ y $\cot$ no tienen aquí inversas propias: se las puede expresar mediante las tres anteriores, por ejemplo $\csc t=y$ equivale a $\sin t=1/y$. Las inversas de estas tres no se definen aquí, porque la elección de su rango no es universal.

Recordatorio. $\arcsin y\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$, $\arccos y\in[0,\pi]$, $\arctan y\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$: cada una es el único ángulo de ese rango con el valor dado. $\sin^{-1}$ significa $\arcsin$, no $1/\sin$.

§2. Composiciones e identidades¶

Por ser inversas, las composiciones con las funciones originales deben deshacerse, pero con una condición sobre el dominio que es fácil olvidar.

Proposición. Se cumple $$\sin(\arcsin y)=y\ \ (y\in[-1,1])\qquad\arcsin(\sin x)=x\ \ (x\in[-\pi/2,\pi/2])$$ $$\cos(\arccos y)=y\ \ (y\in[-1,1])\qquad\arccos(\cos x)=x\ \ (x\in[0,\pi])$$ $$\tan(\arctan y)=y\ \ (y\in\mathbb{R})\qquad\arctan(\tan x)=x\ \ (x\in(-\pi/2,\pi/2))$$ y las igualdades $\arcsin(\sin x)=x$, $\arccos(\cos x)=x$ y $\arctan(\tan x)=x$ son en general falsas fuera de los intervalos indicados.

Demostración. Las seis son la definición de función inversa (§2.7 §3), restringidas a los dominios de la proposición del §1. Para el contraejemplo, $\sin\pi=0$, y $\arcsin0=0\neq\pi$: la función $\arcsin$ devuelve el ángulo de $[-\pi/2,\pi/2]$ con seno $0$, que es $0$, y no el $\pi$ del que se partió. $\blacksquare$

Ejemplo. $\arcsin\left(\sin\dfrac{5\pi}{6}\right)$ no vale $\dfrac{5\pi}{6}$, que está fuera de $[-\pi/2,\pi/2]$. Como $\sin\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac12$, el resultado es $\arcsin\dfrac12=\dfrac{\pi}{6}$.

Las propiedades de simetría de las inversas se heredan de las de las funciones originales.

Proposición. $\arcsin(-y)=-\arcsin y$, $\arctan(-y)=-\arctan y$, y $\arccos(-y)=\pi-\arccos y$. Además $\arcsin y+\arccos y=\dfrac{\pi}{2}$ para todo $y\in[-1,1]$.

Demostración. Como $\sin$ es impar, $\sin(-\arcsin y)=-y$, y $-\arcsin y\in[-\pi/2,\pi/2]$, luego $-\arcsin y=\arcsin(-y)$ por la unicidad; igual para $\arctan$. Para $\arccos$, $\pi-\arccos y\in[0,\pi]$ y $\cos(\pi-\arccos y)=-\cos(\arccos y)=-y$ por el §7.1, luego $\pi-\arccos y=\arccos(-y)$. Para la suma, $\dfrac{\pi}{2}-\arcsin y$ pertenece a $[0,\pi]$ porque $\arcsin y\in[-\pi/2,\pi/2]$, y por la cofunción del §7.1, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-\arcsin y\right)=\sin(\arcsin y)=y$; por la unicidad, $\dfrac{\pi}{2}-\arcsin y=\arccos y$. $\blacksquare$

Compuestas de una función trigonométrica con una inversa de otra dan expresiones algebraicas, que se calculan con un triángulo o con la identidad pitagórica.

Proposición. Para $y\in[-1,1]$, $\cos(\arcsin y)=\sqrt{1-y^2}$ y $\sin(\arccos y)=\sqrt{1-y^2}$. Para $y\in\mathbb{R}$, $\cos(\arctan y)=\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}$ y $\sin(\arctan y)=\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}$.

Demostración. Sea $\theta=\arcsin y\in[-\pi/2,\pi/2]$; allí $\cos\theta\ge0$ por el §6.3, y por la identidad pitagórica $\cos\theta=\sqrt{1-\sin^2\theta}=\sqrt{1-y^2}$. Sea $\phi=\arccos y\in[0,\pi]$; allí $\sin\phi\ge0$ y $\sin\phi=\sqrt{1-y^2}$. Para $\psi=\arctan y\in(-\pi/2,\pi/2)$, $\cos\psi>0$ y $1+\tan^2\psi=\sec^2\psi$ por el §7.1, de donde $\cos\psi=\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}$, y $\sin\psi=\tan\psi\cos\psi=\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}$. $\blacksquare$

Los signos de la raíz cuadrada no son una elección: los fijan los rangos de las inversas, y es lo que hace correctas estas fórmulas.

Ejemplos. $\arcsin\dfrac12=\dfrac{\pi}{6}$, $\arccos\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)=\dfrac{3\pi}{4}$ y $\arctan(-1)=-\dfrac{\pi}{4}$, por los valores del §6.2 y la simetría del §7.1. Y $\cos\left(\arcsin\dfrac35\right)=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac45$, valor que se obtiene sin conocer el ángulo.

Recordatorio. $\arcsin(\sin x)=x$ solo para $x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$ (análogo para las otras dos). $\arcsin y+\arccos y=\frac{\pi}{2}$; $\arccos(-y)=\pi-\arccos y$. $\cos(\arcsin y)=\sqrt{1-y^2}$; $\sin(\arctan y)=\frac{y}{\sqrt{1+y^2}}$.

§3. Calcular ángulos a partir de sus razones¶

Con las funciones inversas se cumplen las promesas que el Capítulo 6 dejó pendientes con corchetes. En un triángulo rectángulo con catetos $a$ (opuesto) y $b$ (adyacente) a un ángulo agudo $\theta$, se tiene $\tan\theta=a/b$, y por tanto $\theta=\arctan(a/b)$; análogamente, $\theta=\arcsin(a/c)=\arccos(b/c)$ si se conoce la hipotenusa $c$. Por ejemplo, un triángulo rectángulo de catetos $3$ y $4$ tiene un ángulo agudo $\theta=\arctan\dfrac34\approx36{,}87^\circ$ y el otro, $\dfrac{\pi}{2}-\theta\approx53{,}13^\circ$.

En un triángulo cualquiera, la ley de los cosenos del §6.5 da $\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, y como el ángulo de un triángulo pertenece a $(0,\pi)$, que es el rango de $\arccos$, resulta $$\gamma=\arccos\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$ sin ninguna ambigüedad. Para los lados $5$, $6$ y $7$ del §6.5, $\gamma=\arccos\dfrac15\approx78{,}46^\circ$. Es la razón por la que, al resolver un triángulo con la ley de los cosenos, la tecla de coseno inverso de la calculadora siempre da la respuesta correcta.

Con la ley de los senos, en cambio, el ángulo $\beta$ que cumple $\sin\beta=s$ puede ser $\arcsin s$ o $\pi-\arcsin s$, y esa es la ambigüedad del caso LLA del §6.4: sus dos soluciones, $\beta_1$ y $\beta_2$, son exactamente $\arcsin s$ y $\pi-\arcsin s$, y la teoría de la sección precisa cuáles de ellas caben en el triángulo. La tecla de seno inverso de la calculadora solo devuelve la primera, y la segunda hay que agregarla a mano. Con esto quedan cumplidas las marcas del §6.4 y el §6.5 sobre el cálculo de un ángulo a partir de su seno o de su coseno.

Ejemplo. En el §6.4, el triángulo con $\alpha=30^\circ$, $b=10$ y $a=6$ tenía $\sin\beta=\dfrac56$. Ahora se ve que $\beta_1=\arcsin\dfrac56\approx56{,}44^\circ$ y que $\beta_2=180^\circ-\beta_1\approx123{,}56^\circ$, los dos valores que aquella sección obtuvo con la calculadora.

Recordatorio. En un triángulo rectángulo, $\theta=\arctan(a/b)$. Con la ley de los cosenos, $\gamma=\arccos\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, único. Con la ley de los senos, las soluciones son $\arcsin s$ y $\pi-\arcsin s$, y hay que decidir cuáles son admisibles.

Las funciones inversas no son un accesorio de las originales: la elección de un rango es un acto de decisión, y decisiones distintas producen funciones distintas. Que $\arcsin$ tome sus valores en $[-\pi/2,\pi/2]$ y $\arccos$ en $[0,\pi]$ es una convención, y otra habría sido igualmente coherente, pero es la que hace que ambas sean monótonas en todo su dominio, y la que se usa universalmente. Las identidades como $\arcsin(\sin x)=x$ solo valen dentro de esa convención, y confundir el intervalo es la fuente más común de error en este tema. Queda abierta la pregunta de cómo se encuentran todos los ángulos cuyo seno vale un número dado, y no solo el que devuelve la calculadora.

Esa es la cuestión de la sección siguiente: las ecuaciones trigonométricas, donde la periodicidad que aquí se dejó de lado reaparece como la fuente de infinitas soluciones.