Capítulo 9 — Las Cónicas como Lugares Geométricos¶
9.1 — La Ecuación de un Lugar¶
Una curva puede darse por lo que sus puntos cumplen o por la ecuación que sus coordenadas satisfacen; la geometría analítica consiste en demostrar que ambas descripciones señalan el mismo conjunto.
El capítulo 2 recorrió casi siempre un mismo camino: se partía de una fórmula y se estudiaba la gráfica que determinaba. El §1.8 §4 había recorrido una vez el camino inverso. Se partió de una propiedad, la de distar \(r\) de un punto fijo, y se llegó a la ecuación \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\). Este capítulo hace de aquel caso aislado un método. Cada curva se definirá por una condición métrica sobre sus puntos, y su ecuación deberá deducirse, con la obligación de probar que no describe ni más ni menos puntos que los que la condición exige. Esta sección fija ese método, muestra dónde falla cuando se lo aplica sin cuidado, y construye la herramienta que permite elegir en cada caso el sistema de coordenadas más favorable.
§1. Lugar geométrico y ecuación de un lugar¶
Definición. Sea \(\mathcal{P}\) una propiedad que un punto del plano puede cumplir o no. El lugar geométrico determinado por \(\mathcal{P}\) es el conjunto
La palabra "lugar" es antigua y proviene de la geometría griega, pero el contenido de la definición es enteramente conjuntista: un lugar geométrico no es más que un subconjunto de \(\mathbb{R}^2\), descrito por comprensión en el sentido del §2.1.
Definición. Sea \(E\) una expresión en las variables \(x\) e \(y\). Se dice que \(E(x,y)=0\) es una ecuación del lugar \(S\) si
La igualdad de conjuntos que exige esta definición se descompone, como toda igualdad de conjuntos, en dos inclusiones, y cada una tiene un significado preciso. La inclusión \(S\subseteq\{E=0\}\) afirma que todo punto que cumple la propiedad satisface la ecuación, es decir, que la ecuación no pierde puntos del lugar. La inclusión \(\{E=0\}\subseteq S\) afirma que toda solución de la ecuación cumple la propiedad, es decir, que la ecuación no agrega puntos ajenos a él. Deducir la ecuación de un lugar significa probar ambas, y en la práctica eso se consigue de dos maneras: encadenando únicamente equivalencias, de modo que cada paso se lea en los dos sentidos, o bien probando la implicación directa y verificando después, por separado, la recíproca.
La prueba del §1.8 §4 tenía exactamente esta estructura, aunque entonces no se la nombró. Cada paso, desde "\((x,y)\) dista \(r\) del centro" hasta "\((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\)", era una equivalencia, y la única operación delicada, elevar al cuadrado, se justificó porque ambos miembros eran no negativos. Esa justificación es la mitad de todo el método. El §2 muestra qué ocurre cuando falta.
Conviene observar, antes de seguir, que una misma curva admite muchas ecuaciones. Si \(\lambda\neq 0\), las ecuaciones \(E(x,y)=0\) y \(\lambda E(x,y)=0\) tienen el mismo conjunto solución, y lo mismo ocurre con \(E(x,y)=0\) y \(E(x,y)^2=0\), porque un número real es nulo si y solo si lo es su cuadrado. Lo que la geometría analítica asocia a una curva no es, entonces, una fórmula, sino una clase de ecuaciones con el mismo conjunto solución; al hablar de "la" ecuación de un lugar se entiende la más simple de esa clase. Tampoco todo lugar geométrico es la gráfica de una función. La circunferencia no pasa el criterio de la recta vertical del §2.3 §1, y ninguna de las cónicas de este capítulo, salvo la parábola de eje vertical, lo pasa. El concepto de lugar es estrictamente más amplio que el de gráfica, y por eso requiere una ecuación en dos variables y no una fórmula \(y=f(x)\).
Recordatorio. \(E(x,y)=0\) es ecuación del lugar \(S\) cuando \(S=\{E=0\}\): la ecuación no pierde puntos (\(\subseteq\)) ni agrega puntos (\(\supseteq\)). Ambas inclusiones deben demostrarse.
§2. Soluciones extrañas¶
Las condiciones métricas se expresan con distancias, y las distancias con raíces cuadradas. Deducir una ecuación exige casi siempre eliminar esas raíces elevando al cuadrado, y esa operación no es reversible en general, como ya se advirtió para ecuaciones en una variable en el §1.5. En dos variables el problema tiene una forma exacta.
Proposición. Sean \(A\) y \(B\) números reales con \(A\geq 0\). Entonces
Demostración. Si \(\sqrt{A}=B\), entonces \(B\geq 0\), porque la raíz cuadrada principal es no negativa por definición (§1.2), y elevando al cuadrado se obtiene \(A=B^2\). Recíprocamente, si \(A=B^2\) y \(B\geq 0\), entonces \(\sqrt{A}=\sqrt{B^2}=|B|=B\), donde la segunda igualdad es la proposición \(\sqrt{a^2}=|a|\) del §1.2 y la tercera usa que \(B\geq 0\). \(\blacksquare\)
La proposición dice que elevar al cuadrado preserva la equivalencia siempre que se conserve la condición de signo. Quien la descarta pasa de \(\sqrt{A}=B\) a la sola ecuación \(A=B^2\), que en general tiene más soluciones: agrega todos los puntos donde \(B<0\). Cuando \(B\) es también una distancia, como en el §1.8 §4 o en el §3 que sigue, la condición \(B\geq 0\) se cumple sola y puede omitirse. Cuando no lo es, omitirla es un error, y sus consecuencias pueden ser grandes.
Ejemplo. Sea \(S\) el lugar de los puntos cuya distancia al origen es igual a su abscisa disminuida en \(1\), es decir, \(\sqrt{x^2+y^2}=x-1\). Elevar al cuadrado sin más da \(x^2+y^2=x^2-2x+1\), o sea \(y^2=1-2x\), una curva con infinitos puntos, que el §9.2 identificará como una parábola. Pero la proposición exige además \(x-1\geq 0\), es decir, \(x\geq 1\), y en ese caso \(1-2x\leq -1<0\), lo que es incompatible con \(y^2\geq 0\). El lugar es vacío. Podía anticiparse sin ningún cálculo, pues \(\sqrt{x^2+y^2}\geq|x|\geq x>x-1\) para todo punto del plano. Todos los puntos de la curva \(y^2=1-2x\) son, respecto de este lugar, soluciones extrañas.
El ejemplo es extremo a propósito: no se trata de uno o dos puntos sobrantes, sino de una curva entera introducida por un solo paso no justificado. En las secciones siguientes, cada elevación al cuadrado irá acompañada de la verificación de signo que la vuelve reversible.
Recordatorio. \(\sqrt{A}=B \iff A=B^2\) y \(B\geq 0\). Elevar al cuadrado es reversible solo si se conserva la condición de signo; si \(B\) es una distancia, esa condición se cumple sola.
§3. La mediatriz como lugar¶
El primer lugar nuevo que se estudia es el más simple que se define con dos puntos, y su deducción muestra el método completo sin complicaciones.
Proposición. Sean \(A=(x_1,y_1)\) y \(B=(x_2,y_2)\) puntos distintos. El lugar de los puntos que equidistan de \(A\) y de \(B\) es la recta
que pasa por el punto medio del segmento \(AB\) y es perpendicular a él. Se la llama mediatriz del segmento \(AB\).
Demostración. Un punto \(P=(x,y)\) pertenece al lugar si y solo si \(d(P,A)=d(P,B)\). Ambos miembros son distancias, es decir, números no negativos, y dos números no negativos son iguales si y solo si lo son sus cuadrados; por la fórmula del §1.8 §2, la condición equivale a
Desarrollando ambos miembros, los términos \(x^2\) e \(y^2\) aparecen a los dos lados y se cancelan, y lo que queda equivale, trasponiendo términos, a la ecuación del enunciado. Como toda la cadena consistió en equivalencias, esa ecuación es exactamente la del lugar. Es la ecuación de una recta, porque sus coeficientes \(2(x_2-x_1)\) y \(2(y_2-y_1)\) no se anulan a la vez: si se anularan, sería \(x_1=x_2\) e \(y_1=y_2\), contra la hipótesis \(A\neq B\) (§1.10). El punto medio \(M=\big(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\big)\) del §1.8 §3 la satisface, pues al sustituirlo el primer miembro vale \((x_2-x_1)(x_1+x_2)+(y_2-y_1)(y_1+y_2)=x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2\). Por último, un vector normal a la recta es \((x_2-x_1,\,y_2-y_1)\), que es el vector de \(A\) a \(B\); por la lectura de los vectores normales del §8.2, la recta es perpendicular al segmento. \(\blacksquare\)
Ejemplo. Para \(A=(-1,3)\) y \(B=(5,1)\), la ecuación del enunciado da \(12x-4y=16\), o bien, dividiendo por \(4\), \(3x-y=4\). La mediatriz es la recta de pendiente \(3\) que pasa por el punto medio \((2,2)\). Su pendiente es, como corresponde, el opuesto del recíproco de la pendiente \(-\tfrac{1}{3}\) del segmento \(AB\) (§1.10).
La cancelación de los términos cuadráticos no es un accidente de este caso. Es la razón por la cual un lugar definido por una igualdad de distancias a dos puntos resulta rectilíneo. Las cónicas aparecerán precisamente cuando la condición métrica impida esa cancelación: cuando se iguale la distancia a un punto con la distancia a una recta, en el §9.2, o cuando se fije la suma o la diferencia de dos distancias, en el §9.3.
§4. Traslación de ejes¶
La ecuación de un lugar depende del sistema de coordenadas en que se la escribe, y un mismo lugar puede tener una ecuación simple o complicada según dónde se coloque el origen. La circunferencia centrada en el origen tiene la ecuación \(x^2+y^2=r^2\); la misma circunferencia, descrita desde un origen alejado de su centro, tiene una ecuación con más términos y ninguna información nueva. El método de este capítulo será deducir cada curva en el sistema más favorable y transportar después el resultado al sistema general. Para eso hace falta precisar qué significa cambiar de origen.
Definición. Sea \(O'=(h,k)\) un punto del plano. El sistema trasladado con origen \(O'\) es el que asigna a cada punto \(P=(x,y)\) las coordenadas
La definición traduce una construcción geométrica. Se trazan por \(O'\) dos rectas paralelas a los ejes originales, con la misma orientación y la misma unidad, y se las toma como nuevos ejes. La nueva abscisa de \(P\) es la posición de su proyección sobre el eje horizontal medida a partir de \(O'\) y no a partir de \(O\), es decir, \(x-h\); lo mismo vale para la ordenada. Las fórmulas se invierten sin dificultad, \(x=x'+h\) e \(y=y'+k\), de modo que cada punto tiene un único par de coordenadas en cada sistema y la correspondencia entre ambos pares es biyectiva.
La primera pregunta es si el cambio de sistema altera las distancias. Si lo hiciera, las propiedades métricas que definen un lugar dependerían del sistema elegido, y el método carecería de sentido.
Proposición. La distancia entre dos puntos es la misma calculada en el sistema original que en cualquier sistema trasladado.
Demostración. Sean \(P_1\) y \(P_2\) dos puntos, con coordenadas \((x_1,y_1)\) y \((x_2,y_2)\) en el sistema original y \((x_1',y_1')\) y \((x_2',y_2')\) en el trasladado con origen \((h,k)\). Entonces \(x_2'-x_1'=(x_2-h)-(x_1-h)=x_2-x_1\), y del mismo modo \(y_2'-y_1'=y_2-y_1\). La fórmula del §1.8 §2 depende solo de esas diferencias, de modo que da el mismo resultado en ambos sistemas. \(\blacksquare\)
La segunda pregunta es cómo se transporta una ecuación de un sistema al otro.
Proposición. Si un lugar \(S\) tiene la ecuación \(E(x',y')=0\) en el sistema trasladado con origen \((h,k)\), entonces su ecuación en el sistema original es
Demostración. Sea \(P\) un punto de coordenadas \((x,y)\) en el sistema original. Sus coordenadas trasladadas son \((x-h,y-k)\), de modo que \(P\in S\) si y solo si \(E(x-h,y-k)=0\). \(\blacksquare\)
La demostración es breve porque la proposición es casi una relectura de la definición, pero su consecuencia es la que sostiene el resto del capítulo. Como las distancias no cambian, la condición métrica que define un lugar puede escribirse en el sistema donde resulte más simple. Por esta proposición, la ecuación obtenida se lleva después al sistema general reemplazando \(x'\) por \(x-h\) e \(y'\) por \(y-k\). Así, la circunferencia de radio \(r\) tiene en el sistema con origen en su centro la ecuación \(x'^2+y'^2=r^2\), y en el original la ecuación \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) del §1.8 §4, que ahora se obtiene sin volver a calcular ninguna distancia.
Conviene comparar este resultado con el §2.5, donde la gráfica de \(y=f(x-h)+k\) se obtuvo desplazando la gráfica de \(y=f(x)\) con los ejes fijos. Aquí, en cambio, nada se desplaza: la curva queda donde está y lo que cambia es el origen desde el cual se la describe. Sin embargo, la curva que en el sistema trasladado tiene la ecuación \(y'=f(x')\) tiene en el original, por la proposición, la ecuación \(y-k=f(x-h)\), que es exactamente la del §2.5. Mover la figura con los ejes fijos y mover los ejes con la figura fija son dos lecturas de la misma sustitución algebraica. La primera es la que convenía al estudiar funciones, porque la gráfica era el objeto variable. La segunda es la que conviene al estudiar lugares, porque el lugar está determinado por su propiedad y lo único que puede elegirse es el punto de vista. El §9.6 extenderá la misma idea a ejes que, además de trasladarse, giran.
Recordatorio. Sistema trasladado a \((h,k)\): \(x'=x-h\), \(y'=y-k\). Las distancias no cambian, y una ecuación \(E(x',y')=0\) se convierte en \(E(x-h,y-k)=0\). Se deduce en el sistema cómodo y se traslada después.
Con el método fijado, la advertencia sobre las raíces cuadradas asumida y la libertad de elegir el origen demostrada, puede estudiarse la primera condición métrica que no se reduce a una recta: la de los puntos que equidistan de un punto y de una recta.