Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶

1.1 — Los Números Reales¶

Toda ciencia exacta comienza por nombrar aquello de lo que va a hablar.

Todo estudio matemático necesita dos cosas: objetos con los que trabajar y reglas precisas para operar con ellos. En este libro, que va del álgebra elemental hasta las puertas del Cálculo, el objeto fundamental es el número real, y el conjunto de todos los números reales se denota $\mathbb{R}$.

Esta sección fija de qué piezas está hecho $\mathbb{R}$ y qué leyes gobiernan sus operaciones. Lo haremos por capas. Cada conjunto numérico nace de una operación que el anterior no permitía realizar, y así llegaremos a la recta real con su suma, su producto, su orden y su noción de distancia. Lo que quede establecido aquí se usará en todo el resto del libro sin volver a justificarlo.

§1. Los números naturales¶

Los primeros números que usamos son los que sirven para contar. Forman el conjunto de los números naturales, que se denota $\mathbb{N}$. Podemos describirlo por extensión, es decir, listando sus elementos entre llaves y separados por comas:

\[\mathbb{N} = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}\]

Los puntos suspensivos no son un adorno. Indican que la lista continúa sin fin siguiendo el mismo patrón, de modo que $\mathbb{N}$ es un conjunto infinito. El signo $=$ tampoco expresa aquí una igualdad entre números, sino entre conjuntos: dice que el conjunto que llamamos $\mathbb{N}$ es exactamente el que aparece a la derecha. Qué significa con rigor "seguir el mismo patrón" es una pregunta más difícil de lo que parece. La respondemos en el §10.1, donde los naturales se definen sin puntos suspensivos.

Recordatorio. $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ son los números con que contamos. Las llaves $\{\ \}$ delimitan un conjunto; los puntos suspensivos indican que la lista no termina.

Nota. Seguimos la convención habitual del álgebra y del análisis: el cero no es un número natural. En otras áreas, como la lógica o la informática, conviene incluirlo, y entonces se escribe $\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\}$ para distinguir ambos conjuntos. En este libro $\mathbb{N}$ empieza siempre en $1$.

§2. Los números enteros¶

Con los naturales podemos sumar y multiplicar sin salir del conjunto, pero no siempre podemos restar: $3-5$ no es un número natural. Para que la resta sea siempre posible hace falta agregar el cero y los números negativos. La ampliación llegó tarde en la historia y encontró resistencia. Los negativos se usaron primero para llevar la cuenta de las deudas, y pasaron siglos antes de que se los aceptara como números de pleno derecho.

Al agregar a los naturales el cero y el opuesto de cada natural obtenemos el conjunto de los números enteros, que se denota $\mathbb{Z}$, por el alemán Zahlen, "números". Por extensión,

\[\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}\]

y, si queremos destacar su estructura,

\[\mathbb{Z} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \cup \mathbb{Z}^+\]

donde $\mathbb{Z}^+$ son los enteros positivos, que coinciden exactamente con $\mathbb{N}$, y $\mathbb{Z}^-$ los enteros negativos. El símbolo $\cup$ se lee "unión": un elemento pertenece a $A \cup B$ si pertenece a $A$, a $B$ o a ambos. La expresión $\{0\}$ denota el conjunto cuyo único elemento es el cero. Conviene no confundirlo con el número $0$: podemos pensar $\{0\}$ como una caja que contiene al cero. La caja tiene un elemento; el cero es ese elemento.

Recordatorio. $\mathbb{Z}$ agrega a $\mathbb{N}$ el cero y los negativos, y con eso la resta es siempre posible. $\cup$ reúne conjuntos; $\{0\}$ es la caja que contiene al cero, no el cero mismo.

§3. Los números racionales¶

En $\mathbb{Z}$ la resta ya no presenta problemas, pero la división sí: $1 \div 3$ no es un entero. Repartir una cantidad en partes iguales, o medir una longitud con una unidad que no cabe un número entero de veces, obliga a introducir las fracciones.

Un número racional es un número que puede escribirse como cociente de dos enteros. El conjunto de los racionales se denota $\mathbb{Q}$, por quotient, "cociente", y lo definimos por comprensión:

\[\mathbb{Q} = \left\{ \frac{m}{n} \;\middle|\; m,n \in \mathbb{Z},\ n \neq 0 \right\}\]

La notación por comprensión no lista los elementos, sino que los describe por la propiedad que cumplen. La barra vertical $\mid$ se lee "tal que" e introduce esa propiedad. El símbolo $\in$ indica pertenencia: "$m \in \mathbb{Z}$" se lee "$m$ pertenece a $\mathbb{Z}$". El símbolo $\neq$ niega la igualdad. Así, la expresión completa se lee "el conjunto de las fracciones $m/n$ tales que $m$ y $n$ son enteros y $n$ es distinto de cero".

La condición $n \neq 0$ es indispensable: excluye la división por cero, que no está definida. Observemos también que distintas fracciones pueden representar el mismo número, como $\frac{1}{2}$ y $\frac{2}{4}$. El criterio para decidir cuándo dos fracciones son iguales aparece en el apartado 6 de esta sección.

Recordatorio. Un racional es un cociente de enteros $m/n$ con $n \neq 0$. El símbolo $\mid$ se lee "tal que"; el símbolo $\in$, "pertenece a".

§4. Los números irracionales¶

Entre dos racionales cualesquiera siempre hay otro, por ejemplo su promedio, y entonces parecería que las fracciones ya llenan la recta. No es así. Los matemáticos griegos descubrieron que la diagonal de un cuadrado de lado $1$ no puede medirse con ninguna fracción de ese lado. El descubrimiento fue tan perturbador que la tradición lo rodeó de leyendas, y obligó a admitir que hay longitudes que no son cocientes de enteros.

Antes de dar la definición, una observación sobre el orden en que presentamos las cosas. Hasta aquí hemos usado $\mathbb{R}$ solo de manera intuitiva, como la recta numérica completa. Su definición como conjunto llega en el próximo apartado, y esa definición se apoya a su vez en los irracionales. No hay en esto un círculo vicioso, sino una elección de orden. Primero caracterizamos los irracionales por una propiedad propia, que no requiere tener definido $\mathbb{R}$. Después, cuando $\mathbb{R}$ quede fijado, los describimos también como una parte de $\mathbb{R}$.

Un número irracional es un número real que no puede escribirse como cociente de enteros. Equivalentemente, es un número cuyo desarrollo decimal no es finito ni periódico. Que ambas descripciones coinciden, es decir, que los racionales son exactamente los números de desarrollo decimal finito o periódico, se demuestra en el §10.4. El conjunto de los irracionales se denota $\mathbb{I}$, o también $\mathbb{Q}^c$, el complemento de $\mathbb{Q}$. Una vez disponible $\mathbb{R}$, podemos escribirlo así:

\[\mathbb{I} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \notin \mathbb{Q}\} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\]

El símbolo $\notin$ niega la pertenencia. El símbolo $\setminus$ denota la diferencia de conjuntos: $A \setminus B$ está formado por los elementos de $A$ que no pertenecen a $B$. La fórmula se lee "los irracionales son los números reales que no son racionales".

Recordatorio. Irracional: real que no es cociente de enteros; su desarrollo decimal no es finito ni periódico. $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, "todo lo real que no es racional".

Decir que existen irracionales no alcanza; hay que mostrar uno. La demostración que sigue es una de las más antiguas de la matemática, y es también la primera de este libro.

Proposición. No existe ningún número racional cuyo cuadrado sea $2$.

Demostración. Supongamos, por el absurdo, que existe un racional $q$ con $q^2 = 2$. Como $(-q)^2 = q^2$, podemos suponer que $q$ es positivo y escribirlo como $q = m/n$, con $m$ y $n$ enteros positivos. Toda fracción puede simplificarse, dividiendo numerador y denominador por sus factores comunes, hasta que no le quede ninguno. Elegimos entonces $m$ y $n$ sin factores comunes. De $q^2 = 2$ obtenemos

\[\frac{m^2}{n^2} = 2 \quad\Longrightarrow\quad m^2 = 2n^2\]

La última igualdad dice que $m^2$ es par. Eso obliga a que $m$ sea par. En efecto, si $m$ fuera impar, sería $m = 2j+1$ para algún entero $j$, y entonces $m^2 = 4j^2 + 4j + 1 = 2(2j^2+2j) + 1$ sería impar. Escribimos, pues, $m = 2k$ con $k$ entero, y sustituimos:

\[(2k)^2 = 2n^2 \quad\Longrightarrow\quad 4k^2 = 2n^2 \quad\Longrightarrow\quad n^2 = 2k^2\]

Ahora es $n^2$ el que resulta par, y por el mismo argumento $n$ también es par. Pero habíamos elegido $m$ y $n$ sin factores comunes, y acabamos de ver que los dos son divisibles por $2$. La contradicción proviene únicamente de haber supuesto que existía $q$. Por lo tanto, ningún racional tiene cuadrado igual a $2$. $\blacksquare$

La proposición dice que, si existe un número real positivo cuyo cuadrado es $2$, el número que escribimos $\sqrt{2}$ y que mide la diagonal del cuadrado de lado $1$, ese número es irracional: $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$. Que tal número exista en $\mathbb{R}$ no es evidente, y el apartado 9 de esta sección muestra de dónde proviene. El método de la prueba, suponer lo contrario de lo que queremos demostrar hasta llegar a un absurdo, se llama reducción al absurdo, y lo usaremos muchas veces.

§5. Los números reales¶

Reunimos ahora las dos familias. El conjunto de los números reales es la unión de los racionales y los irracionales:

\[\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}\]

La unión es disjunta: ningún número es a la vez racional e irracional, lo que se escribe $\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset$. El símbolo $\cap$ se lee "intersección" y designa los elementos comunes a dos conjuntos. El símbolo $\emptyset$ designa el conjunto vacío, el único conjunto sin elementos. Dos conjuntos cuya intersección es vacía se llaman disjuntos.

Los conjuntos que construimos quedan así encadenados, cada uno contenido en el siguiente:

\[\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\]

El símbolo $\subset$ se lee "está contenido en". Los irracionales ocupan exactamente lo que $\mathbb{Q}$ deja libre dentro de $\mathbb{R}$.

Recordatorio. $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$, unión disjunta: $\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset$. La cadena completa es $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

Queda pendiente la pregunta más importante: ¿por qué hacen falta los irracionales? ¿Qué le falta exactamente a $\mathbb{Q}$? La respuesta, la propiedad que distingue a $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$, se desarrolla en el apartado 9 de esta sección.

§6. Las propiedades algebraicas y el orden de $\mathbb{R}$¶

Sobre $\mathbb{R}$ hay dos operaciones, la suma y el producto. No vamos a justificar sus propiedades a partir de algo más elemental: las tomamos como punto de partida. Son axiomas, y el álgebra de todo el libro se deduce de ellos.

Las dos operaciones son conmutativas: el orden de los sumandos o de los factores no altera el resultado.

\[a + b = b + a \qquad\qquad ab = ba\]

Las dos son también asociativas, lo que permite escribir sumas y productos de tres o más términos sin indicar cómo se agrupan:

\[(a+b)+c = a+(b+c) \qquad\qquad (ab)c = a(bc)\]

La distributividad es la propiedad que vincula ambas operaciones. Multiplicar una suma por un número equivale a multiplicar cada sumando y sumar los productos:

\[a(b+c) = ab + ac\]

Cada operación tiene un elemento neutro, que no altera aquello con lo que opera, y cada número tiene un inverso, que deshace la operación. El cero es neutro para la suma, $a + 0 = a$, y todo real $a$ tiene un opuesto $-a$ con $a + (-a) = 0$. Con él definimos la resta, $a - b := a + (-b)$. El uno es neutro para el producto, $a \cdot 1 = a$, y todo real $a \neq 0$ tiene un inverso multiplicativo $1/a$ con $a \cdot (1/a) = 1$. Con él definimos la división, $a \div b := a \cdot (1/b)$, siempre que $b \neq 0$. Se supone además que $0 \neq 1$. El símbolo $:=$ se lee "se define como".

El opuesto de cada número es único. Si $a + b = 0$ y $a + c = 0$, entonces

\[b = b + (a + c) = (b + a) + c = 0 + c = c\]

usando el neutro, la asociatividad y la conmutatividad. Del mismo modo se prueba que el inverso multiplicativo es único.

De los signos. Las reglas de los signos no son convenciones que haya que memorizar: se deducen de los axiomas. Primero, $a \cdot 0 = 0$ para todo $a$. En efecto, por la distributividad, $a \cdot 0 = a(0+0) = a \cdot 0 + a \cdot 0$, y sumando a ambos miembros el opuesto de $a \cdot 0$ queda $0 = a \cdot 0$. Segundo, $(-1)a = -a$, porque

\[a + (-1)a = 1 \cdot a + (-1)a = \big(1 + (-1)\big)a = 0 \cdot a = 0\]

y el opuesto de $a$ es único. Tercero, $(-1)(-1) = 1$. Por la regla anterior con $a = -1$, el producto $(-1)(-1)$ es el opuesto de $-1$, y ese opuesto es $1$, porque $(-1) + 1 = 0$. De estas tres reglas, con la conmutatividad y la asociatividad, se obtiene la tabla completa:

\[(-1)a = -a \qquad -(-a) = a \qquad (-a)b = a(-b) = -(ab)$$ $$(-a)(-b) = ab \qquad -(a+b) = -a-b \qquad -(a-b) = b-a\]

Por ejemplo, $(-a)(-b) = (-1)a(-1)b = (-1)(-1)ab = ab$. Las restantes se prueban del mismo modo, y conviene hacerlo como ejercicio. "Menos por menos da más" es, así, una consecuencia de la distributividad y de la unicidad del opuesto.

De las fracciones. Para $b \neq 0$ escribimos $\dfrac{a}{b} := a \cdot \dfrac{1}{b}$. Las reglas de las fracciones también se deducen de los axiomas. Suponiendo no nulos todos los denominadores, y también $c$ en la división,

\[\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \qquad\qquad \frac{a}{b}\div\frac{c}{d} = \frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}\]

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, su suma es la distributividad aplicada al factor $\frac{1}{c}$:

\[\frac{a}{c}+\frac{b}{c} = a\cdot\frac{1}{c} + b\cdot\frac{1}{c} = (a+b)\cdot\frac{1}{c} = \frac{a+b}{c}\]

Cuando los denominadores son distintos, multiplicamos cada fracción por una fracción igual a $1$, $\frac{d}{d}$ o $\frac{b}{b}$, para llevarlas a un denominador común, y aplicamos la regla anterior:

\[\frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad}{bd}+\frac{bc}{bd} = \frac{ad+bc}{bd}\]

En los cálculos conviene usar como denominador común el mínimo común múltiplo de los denominadores. Se obtiene factorizando cada denominador en primos y tomando cada factor con su mayor exponente, y así los números quedan más pequeños. Por último, si $c \neq 0$ podemos cancelar un factor común, $\dfrac{ac}{bc} = \dfrac{a}{b}$, y dos fracciones son iguales exactamente cuando sus productos cruzados coinciden: $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \iff ad = bc$. El símbolo $\iff$ se lee "si y solo si". Así se ve, por ejemplo, que $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$, porque $1 \cdot 4 = 2 \cdot 2$.

El orden. Los reales no solo se suman y se multiplican: también se comparan. El orden se rige por un segundo grupo de axiomas. Existe un subconjunto de $\mathbb{R}$, el de los números positivos, con dos propiedades. La primera es la tricotomía: para cada real $a$ se cumple una y solo una de las afirmaciones "$a$ es positivo", "$a = 0$" y "$-a$ es positivo". La segunda es que la suma y el producto de dos positivos son positivos. Escribimos $a > 0$ cuando $a$ es positivo, y definimos $a < b$, que se lee "$a$ es menor que $b$", como $b - a > 0$. La expresión $a \le b$ significa $a < b$ o $a = b$.

De estos axiomas salen las reglas con que se trabaja con desigualdades. Si $a < b$ y $b < c$, entonces $a < c$, porque $c - a = (c-b) + (b-a)$ es suma de positivos. Si $a < b$, entonces $a + c < b + c$ para cualquier $c$, porque la diferencia sigue siendo $b - a$. Si $a < b$ y $c > 0$, entonces $ac < bc$, porque $bc - ac = (b-a)c$ es producto de positivos. En cambio, si $c < 0$, la desigualdad se invierte, $ac > bc$, porque $ac - bc = (b-a)(-c)$ es positivo. Por último, el cuadrado de todo real no nulo es positivo: si $a > 0$ es producto de positivos, y si $-a > 0$, entonces $a^2 = (-a)(-a)$. En particular $1 = 1^2 > 0$. El §1.7 desarrolla estas reglas.

Recordatorio. Dos grupos de axiomas rigen $\mathbb{R}$. Los algebraicos: conmutatividad, asociatividad, distributividad, neutros e inversos. Los de orden: tricotomía, y la suma y el producto de positivos son positivos. Las reglas de los signos, de las fracciones y de las desigualdades se deducen de ellos. El apartado 9 agrega un axioma más, el del supremo.

§7. Conjuntos e intervalos¶

Ya usamos $\cup$, $\cap$, $\emptyset$ y $\setminus$ al construir $\mathbb{R}$. Conviene fijar ahora sus definiciones generales. Dados dos conjuntos $S$ y $T$,

\[S \cup T = \{x \mid x \in S \text{ o } x \in T\} \qquad S \cap T = \{x \mid x \in S \text{ y } x \in T\} \qquad S \setminus T = \{x \mid x \in S \text{ y } x \notin T\}\]

La unión reúne lo que está en al menos uno de los dos; la intersección conserva solo lo que comparten; la diferencia quita de $S$ lo que está en $T$. Cuando $S \cap T = \emptyset$, los conjuntos son disjuntos.

Un tipo de subconjunto de $\mathbb{R}$ aparece constantemente: el intervalo, formado por todos los reales comprendidos entre dos extremos $a < b$. La notación indica con paréntesis y corchetes si cada extremo está incluido o no.

Notación	Conjunto	Extremos
$(a,b)$	$\{x \mid a < x < b\}$	ambos excluidos (intervalo abierto)
$[a,b]$	$\{x \mid a \le x \le b\}$	ambos incluidos (intervalo cerrado)
$[a,b)$	$\{x \mid a \le x < b\}$	incluye $a$, excluye $b$
$(a,b]$	$\{x \mid a < x \le b\}$	excluye $a$, incluye $b$

Cuando el intervalo no tiene fin hacia uno de los lados, se usa el símbolo $\infty$, que se lee "infinito", y siempre con paréntesis. El infinito no es un número real, así que no hay nada que incluir:

\[(a, \infty) \qquad [a,\infty) \qquad (-\infty, b) \qquad (-\infty,b]\]

Por ejemplo, $[a, \infty)$ es el conjunto de los $x$ con $a \le x$. El caso extremo, $(-\infty,\infty)$, es todo $\mathbb{R}$.

Recordatorio. El corchete $[$ incluye el extremo; el paréntesis $($ lo excluye. El infinito lleva siempre paréntesis: no es un número que pueda incluirse.

§8. Valor absoluto y distancia¶

En la recta, $3$ y $-3$ están a la misma distancia del cero, uno a cada lado. El valor absoluto mide esa distancia olvidando el lado. El valor absoluto de un real $a$ se denota $|a|$ y se define por casos:

\[|a| = \begin{cases} a & \text{si } a \ge 0 \\ -a & \text{si } a < 0 \end{cases}\]

Si $a$ es no negativo, su valor absoluto es él mismo. Si es negativo, es su opuesto, que es positivo por la tricotomía. En ambos casos $|a| \ge 0$, como corresponde a una distancia.

De la definición se siguen cuatro propiedades:

\[|a| = |-a| \qquad |ab| = |a||b| \qquad \left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|} \ (b\neq 0) \qquad |a^n| = |a|^n\]

Las tres primeras se comprueban separando los casos según el signo de $a$ y de $b$. Por ejemplo, si $a \ge 0$ y $b < 0$, entonces $ab \le 0$ y $|ab| = -ab = a(-b) = |a||b|$; los demás casos son análogos. La cuarta, para exponente natural $n$, resulta de aplicar la segunda repetidamente. La primera dice que un número y su opuesto equidistan del origen; las otras, que el valor absoluto respeta el producto, el cociente y las potencias.

Una quinta propiedad merece lugar aparte, porque el resto del libro se apoya en ella una y otra vez: la desigualdad triangular,

\[|a+b| \le |a|+|b|\]

Para demostrarla usamos una traducción que aparecerá en todas partes. Si $c \ge 0$, entonces

\[|x| \le c \iff -c \le x \le c\]

En efecto, si $x \ge 0$, la condición $|x| \le c$ es $x \le c$, y $-c \le x$ se cumple de todos modos. Si $x < 0$, la condición es $-x \le c$, es decir, $x \ge -c$, y $x \le c$ se cumple de todos modos. El mismo argumento vale con desigualdades estrictas: $|x| < c \iff -c < x < c$.

Demostración de la desigualdad triangular. Por la equivalencia anterior con $c = |a|$ y con $c = |b|$, se tiene $-|a| \le a \le |a|$ y $-|b| \le b \le |b|$. Sumando miembro a miembro,

\[-\big(|a|+|b|\big) \le a+b \le |a|+|b|\]

y la equivalencia, leída ahora de derecha a izquierda con $c = |a| + |b|$, da $|a+b| \le |a|+|b|$. $\blacksquare$

El valor absoluto de una suma nunca supera la suma de los valores absolutos. Hay igualdad cuando $a$ y $b$ tienen el mismo signo, o alguno es cero, y desigualdad estricta cuando tienen signos opuestos, porque entonces se cancelan en parte. Esta desigualdad, de apariencia modesta, es la herramienta central para acotar sumas y diferencias, y reaparece al estudiar límites y aproximaciones.

Con el valor absoluto definimos la distancia entre dos puntos cualesquiera de la recta. Dados $a, b \in \mathbb{R}$,

\[d(a,b) = |b-a|\]

Como $b - a$ y $a - b$ son opuestos, la primera propiedad da $d(a,b) = d(b,a)$: la distancia no depende del orden en que nombramos los puntos.

Por último, una traducción entre desigualdades y geometría que usaremos constantemente. Sea $\varepsilon$ un número positivo; la letra griega se lee "épsilon" y suele designar una cantidad pequeña. La desigualdad $|x-a| < \varepsilon$ dice que $x$ está a menos de $\varepsilon$ de $a$. Por la equivalencia con desigualdades estrictas, eso significa $-\varepsilon < x - a < \varepsilon$, es decir, $a - \varepsilon < x < a + \varepsilon$. La desigualdad describe, entonces, el intervalo abierto centrado en $a$:

\[B_\varepsilon(a) = (a-\varepsilon, a+\varepsilon) = \{x \in \mathbb{R} \mid |x-a| < \varepsilon\}\]

Este intervalo se llama entorno de $a$ de radio $\varepsilon$, y la notación $B_\varepsilon(a)$ recuerda la palabra "bola". Parece un detalle menor, pero es el lenguaje con que más adelante se dirá con precisión qué significa que un punto se acerque a otro tanto como se quiera.

Recordatorio. $|a| \ge 0$ es la distancia de $a$ al origen. $|x| \le c \iff -c \le x \le c$. La desigualdad triangular, $|a+b| \le |a|+|b|$, es la propiedad más usada de todas. $d(a,b) = |b-a| = |a-b|$, y $|x-a| < \varepsilon$ describe el entorno $B_\varepsilon(a)$.

Figura 1.1 — Los cuatro tipos de intervalo y el entorno $B_\varepsilon(a)=(a-\varepsilon,a+\varepsilon)$ que acaba de definirse.

§9. Completitud de $\mathbb{R}$: cotas, supremo y el axioma que la distingue de $\mathbb{Q}$¶

Volvamos a la pregunta que quedó abierta en el apartado 5 de esta sección: ¿qué le falta a $\mathbb{Q}$ para ser $\mathbb{R}$? La imagen habitual dice que $\mathbb{Q}$ está lleno de agujeros y que los irracionales los tapan. La imagen es correcta, pero engaña si se la toma al pie de la letra, porque los racionales no están separados unos de otros. Entre dos racionales $p < q$ siempre hay otro, su promedio $\frac{p+q}{2}$, y repitiendo el argumento se obtienen infinitos. Esta propiedad se llama densidad. El agujero de $\mathbb{Q}$ no está en la distancia entre sus puntos, sino en algo más sutil: hay conjuntos de racionales que no se extienden sin límite y que, sin embargo, no tienen un "techo" racional exacto. Para decir esto con precisión necesitamos tres definiciones.

Cotas. Sea $S \subseteq \mathbb{R}$ no vacío; el símbolo $\subseteq$ se lee "es un subconjunto de". Un número $M$ es una cota superior de $S$ si ningún elemento de $S$ lo supera, es decir, si $x \le M$ para todo $x \in S$. Si existe alguna cota superior, decimos que $S$ está acotado superiormente. De manera simétrica, $m$ es una cota inferior de $S$ si $m \le x$ para todo $x \in S$, y $S$ está acotado inferiormente si tiene alguna. Una cota superior no tiene por qué pertenecer a $S$, y si $S$ tiene una, tiene infinitas, porque todo número mayor que una cota superior también lo es.

Supremo. Entre todas las cotas superiores de $S$ nos interesa la más ajustada. Se llama supremo de $S$, y se escribe $\sup S$, a la cota superior de $S$ que es menor o igual que cualquier otra cota superior de $S$. Hay una forma equivalente de decirlo, que es la que más se usa en las demostraciones: $s = \sup S$ si y solo si $s$ es cota superior de $S$ y, para todo $\varepsilon > 0$, existe algún $x \in S$ con $x > s - \varepsilon$.

Veamos por qué las dos formulaciones dicen lo mismo. Si $s$ es la menor cota superior y $\varepsilon > 0$, el número $s - \varepsilon$ es menor que $s$ y por lo tanto no es cota superior, así que algún $x \in S$ lo supera. Recíprocamente, supongamos que $s$ es cota superior con esa propiedad y sea $t < s$. Con $\varepsilon = s - t$ existe $x \in S$ con $x > s - \varepsilon = t$, de modo que $t$ no es cota superior. Ninguna cota superior es menor que $s$, y $s$ es la menor.

Cuando $\sup S$ pertenece a $S$, se llama máximo de $S$. Pero un conjunto puede tener supremo sin tener máximo: el intervalo $(0,1)$ tiene supremo $1$, que no le pertenece. El $1$ es cota superior, y dado $\varepsilon > 0$, el mayor de los números $\frac{1}{2}$ y $1 - \frac{\varepsilon}{2}$ pertenece al intervalo y supera a $1 - \varepsilon$. La noción simétrica, la mayor de las cotas inferiores, se llama ínfimo y se escribe $\inf S$.

Con este vocabulario enunciamos la propiedad que separa a $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$.

Axioma del supremo (completitud de $\mathbb{R}$). Todo subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ acotado superiormente tiene un supremo en $\mathbb{R}$.

Este enunciado no se deduce de los axiomas algebraicos y de orden del apartado 6. Se agrega a ellos como un axioma más, tan fundamental como la conmutatividad. Lo que sí podemos demostrar es que $\mathbb{Q}$ no tiene esta propiedad: hay subconjuntos de $\mathbb{Q}$ no vacíos y acotados superiormente sin supremo racional. Ese es, exactamente, el agujero.

Proposición. El conjunto $S = \{x \in \mathbb{Q} \mid x > 0,\ x^2 < 2\}$ es no vacío y está acotado superiormente, pero no tiene supremo en $\mathbb{Q}$.

Demostración. $S$ es no vacío, porque $1 \in S$. Está acotado superiormente por $2$: si fuera $x \ge 2$, sería $x^2 \ge 2x \ge 4 > 2$, y $x$ no estaría en $S$.

Usaremos un hecho sobre números positivos: si $0 < y \le x$, entonces $y^2 \le x^2$, porque multiplicando $y \le x$ por $y$ y por $x$ se obtiene $y^2 \le xy \le x^2$. En consecuencia, si $x, y > 0$ y $x^2 < y^2$, entonces $x < y$.

Supongamos ahora, por el absurdo, que $S$ tiene un supremo racional $r$. Como $1 \in S$, es $r \ge 1$. Por la proposición del apartado 4, no puede ser $r^2 = 2$, así que quedan dos casos, y en cada uno llegamos a una contradicción.

Caso $r^2 < 2$. Vamos a encontrar un elemento de $S$ mayor que $r$, lo que impide que $r$ sea cota superior. Sea

\[h = \frac{2-r^2}{2r+1}\]

que es racional y positivo, porque $2 - r^2 > 0$. Como $r \ge 1$, el numerador cumple $2 - r^2 \le 1$ y el denominador cumple $2r + 1 \ge 3$, de modo que $0 < h < 1$. Multiplicando $h < 1$ por $h > 0$ obtenemos $h^2 < h$, y entonces

\[(r+h)^2 = r^2 + 2rh + h^2 < r^2 + 2rh + h = r^2 + h(2r+1) = r^2 + (2-r^2) = 2\]

El número $r + h$ es racional, positivo y su cuadrado es menor que $2$: pertenece a $S$ y es mayor que $r$. Luego $r$ no es cota superior, una contradicción.

Caso $r^2 > 2$. Vamos a encontrar una cota superior de $S$ menor que $r$, lo que impide que $r$ sea la menor. Sea

\[r' = r - \frac{r^2-2}{2r} = \frac{r^2+2}{2r}\]

que es racional y positivo, y menor que $r$ porque se obtiene restándole a $r$ una cantidad positiva. Su cuadrado supera a $2$:

\[(r')^2 - 2 = \frac{r^4 + 4r^2 + 4}{4r^2} - \frac{8r^2}{4r^2} = \frac{r^4 - 4r^2 + 4}{4r^2} = \frac{(r^2-2)^2}{4r^2} > 0\]

Ahora bien, todo $x \in S$ cumple $x^2 < 2 < (r')^2$, y como $x$ y $r'$ son positivos, el hecho anterior da $x < r'$. Así, $r'$ es una cota superior de $S$ menor que $r$, otra contradicción.

Los dos casos llevan a un absurdo, así que $S$ no tiene supremo en $\mathbb{Q}$. $\blacksquare$

En $\mathbb{R}$, en cambio, el axioma del supremo garantiza que $S$ tiene supremo. Y el mismo razonamiento de los dos casos, aplicado ahora al conjunto de los números reales positivos cuyo cuadrado es menor que $2$, prueba algo más importante: que existe un número real positivo cuyo cuadrado es exactamente $2$. En el §1.2 hacemos esa demostración para raíces de cualquier índice. Ese número es $\sqrt{2}$, y existe en $\mathbb{R}$ precisamente porque $\mathbb{R}$ satisface el axioma del supremo.

Esa es la razón de fondo por la que hacen falta los irracionales. No están para completar una lista de números que "faltaban", sino para que todo conjunto acotado tenga, sin excepción, un techo exacto. Sin ellos, la recta tendría huecos en lugares tan concretos como la diagonal de un cuadrado.

Recordatorio. Cota superior: un número que ningún elemento de $S$ supera. Supremo: la menor de las cotas superiores; equivalentemente, una cota superior $s$ tal que para todo $\varepsilon > 0$ algún elemento de $S$ supera a $s - \varepsilon$. Axioma del supremo: en $\mathbb{R}$, todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene supremo. En $\mathbb{Q}$ no siempre ocurre, y ahí está el agujero que los irracionales tapan.

Notación	Conjunto	Extremos
\((a,b)\)	\(\{x \mid a < x < b\}\)	ambos excluidos (intervalo abierto)
\([a,b]\)	\(\{x \mid a \le x \le b\}\)	ambos incluidos (intervalo cerrado)
\([a,b)\)	\(\{x \mid a \le x < b\}\)	incluye \(a\), excluye \(b\)
\((a,b]\)	\(\{x \mid a < x \le b\}\)	excluye \(a\), incluye \(b\)