Capítulo 7 - Trigonometría Analítica¶
7.6 - Forma Trigonométrica de los Números Complejos y Teorema de De Moivre¶
En la forma polar, multiplicar números complejos es sumar ángulos: la trigonometría de la suma, que la sección 7.2 demostró como fórmula, se vuelve aquí una operación aritmética.
El §3.3 construyó los números complejos como pares ordenados \(z=(a,b)=a+bi\) de números reales, con suma y producto definidos de manera que \(i^2=-1\) y que \(\mathbb{C}\) resulta un cuerpo. Como pares de reales, se los dibuja como puntos del plano, y el módulo \(|z|=\sqrt{a^2+b^2}\) es la distancia de \(z\) al origen. Pero un punto del plano tiene, además de una distancia al origen, una dirección. Esta sección usa esa dirección, medida como ángulo, para dar una segunda escritura de los complejos, en la que el producto, que en la forma \(a+bi\) es un cálculo engorroso, se reduce a sumar ángulos y multiplicar módulos.
§1. Módulo y argumento¶
Para abreviar, se escribe \(\operatorname{cis}\theta=\cos\theta+i\sin\theta\). Es el número complejo correspondiente al punto \(W(\theta)\) de la circunferencia unitaria, y su módulo es \(1\) por la identidad pitagórica.
Teorema (forma trigonométrica). Todo número complejo \(z\neq0\) puede escribirse como $\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\operatorname{cis}\theta\)$ con \(r=|z|>0\) y \(\theta\in\mathbb{R}\). El número \(r\) está determinado, y \(\theta\) lo está salvo múltiplos enteros de \(2\pi\).
Demostración. Sea \(z=a+bi\neq0\) y \(r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}>0\). El punto \((a/r, b/r)\) está en la circunferencia unitaria, pues \((a/r)^2+(b/r)^2=1\), y por la sobreyectividad de \(W\) (§5.2) es \(W(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)\) para algún \(\theta\). Entonces \(a=r\cos\theta\), \(b=r\sin\theta\) y \(z=r\operatorname{cis}\theta\). Si también \(z=r'\operatorname{cis}\theta'\), tomando módulos resulta \(r'=|z|=r\), y luego \(W(\theta')=W(\theta)\), de modo que \(\theta'-\theta\in2\pi\mathbb{Z}\) por la proposición del §6.1 §2. \(\blacksquare\)
El número \(r=|z|\) se llama módulo y cualquier \(\theta\) que cumpla lo anterior, un argumento de \(z\). Como los argumentos de un mismo número difieren en múltiplos de \(2\pi\), se elige uno como argumento principal, \(\operatorname{Arg}z\in(-\pi,\pi]\). Se calcula con la arcotangente del §7.4, teniendo en cuenta el cuadrante, porque \(\arctan(b/a)\) solo devuelve ángulos de \((-\pi/2,\pi/2)\): para \(a>0\), \(\operatorname{Arg}z=\arctan(b/a)\); para \(a<0\) y \(b\ge0\), \(\operatorname{Arg}z=\arctan(b/a)+\pi\); para \(a<0\) y \(b<0\), \(\operatorname{Arg}z=\arctan(b/a)-\pi\); y para \(a=0\), es \(\pi/2\) si \(b>0\) y \(-\pi/2\) si \(b<0\). La razón es el medio giro del §7.1: \(\tan\) tiene período \(\pi\), de modo que \(\arctan(b/a)\) da un ángulo con la tangente correcta, pero en el semiplano equivocado cuando \(a<0\), y sumar o restar \(\pi\) lo lleva al semiplano correcto sin cambiar la tangente. El número \(z=0\) tiene módulo \(0\) y no tiene argumento.
Figura 7.5 — A la izquierda, la forma polar de \(z\). A la derecha, las tres raíces cúbicas de \(8\), del §4: los vértices de un triángulo equilátero.
Ejemplos. Para \(z=1+i\sqrt3\): \(r=\sqrt{1+3}=2\) y, como \(a>0\), \(\operatorname{Arg}z=\arctan\sqrt3=\tfrac{\pi}{3}\), luego \(z=2\operatorname{cis}\tfrac{\pi}{3}\). Para \(z=-1-i\): \(r=\sqrt2\), y como \(a<0\) y \(b<0\), \(\operatorname{Arg}z=\arctan1-\pi=\tfrac{\pi}{4}-\pi=-\tfrac{3\pi}{4}\), luego \(z=\sqrt2\operatorname{cis}\big(-\tfrac{3\pi}{4}\big)\). Y para los reales y los imaginarios puros: \(3=3\operatorname{cis}0\), \(-5=5\operatorname{cis}\pi\) y \(-2i=2\operatorname{cis}\big(-\tfrac{\pi}{2}\big)\).
Recordatorio. \(z=r\operatorname{cis}\theta\) con \(r=|z|\) y \(\theta\) un argumento, único salvo \(2\pi\). En el semiplano izquierdo, \(\arctan(b/a)\) debe corregirse en \(\pm\pi\).
§2. Producto y cociente en forma polar¶
Teorema. Si \(z_1=r_1\operatorname{cis}\theta_1\) y \(z_2=r_2\operatorname{cis}\theta_2\), entonces $\(z_1z_2=r_1r_2\operatorname{cis}(\theta_1+\theta_2)\qquad\text{y, si }z_2\neq0,\qquad\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)\)$
Demostración. Desarrollando el producto y usando \(i^2=-1\), $\(z_1z_2=r_1r_2\big[(\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2)+i(\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2)\big]\)$ y por las fórmulas de suma del §7.2, el corchete es \(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)\). Para el cociente, el producto recién demostrado da \(\dfrac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)\cdot r_2\operatorname{cis}\theta_2=r_1\operatorname{cis}\theta_1=z_1\), y como \(\mathbb{C}\) es un cuerpo (§3.3) y \(z_2\neq0\), esto significa que el número \(\frac{r_1}{r_2}\operatorname{cis}(\theta_1-\theta_2)\) es \(z_1/z_2\). \(\blacksquare\)
De este teorema se leen varias consecuencias inmediatas: \(|z_1z_2|=|z_1||z_2|\); el argumento de un producto es la suma de los argumentos, módulo \(2\pi\); el conjugado \(\bar z=r\operatorname{cis}(-\theta)\) tiene el mismo módulo y el argumento opuesto; y \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{r}\operatorname{cis}(-\theta)\).
La lectura geométrica es la de la rotación del §7.2 §4. Multiplicar por \(z_2=r_2\operatorname{cis}\theta_2\) es hacer dos cosas al mismo tiempo: multiplicar todas las distancias al origen por \(r_2\), y rotar el plano \(\theta_2\) radianes en sentido antihorario. En particular, multiplicar por \(i=\operatorname{cis}\tfrac{\pi}{2}\) es un giro de un cuarto de vuelta, lo que da una explicación geométrica de que \(i^2=-1\): dos cuartos de vuelta son media vuelta, que lleva \(1\) a \(-1\).
Recordatorio. Producto: se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Cociente: se dividen los módulos y se restan los argumentos. Multiplicar por \(r\operatorname{cis}\theta\) es escalar por \(r\) y rotar \(\theta\).
§3. El teorema de De Moivre¶
Si se aplica el producto varias veces a un mismo número, se obtienen las potencias.
Teorema (De Moivre). Para todo entero \(n\) y todo \(\theta\in\mathbb{R}\), $\((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\)$ y, por lo tanto, \(\big(r\operatorname{cis}\theta\big)^n=r^n\operatorname{cis}n\theta\).
Demostración. Para \(n=0\) ambos miembros valen \(1\). Para \(n\ge1\) se procede por inducción: \(n=1\) es trivial, y si vale para \(n\), entonces \((\operatorname{cis}\theta)^{n+1}=(\operatorname{cis}\theta)^n\operatorname{cis}\theta=\operatorname{cis}n\theta\cdot\operatorname{cis}\theta=\operatorname{cis}(n+1)\theta\), por el producto en forma polar. Para \(n<0\), por el producto, \(\operatorname{cis}\theta\cdot\operatorname{cis}(-\theta)=\operatorname{cis}0=1\), de modo que \((\operatorname{cis}\theta)^{-1}=\operatorname{cis}(-\theta)\); luego \((\operatorname{cis}\theta)^{n}=\big(\operatorname{cis}(-\theta)\big)^{-n}=\operatorname{cis}(-n\cdot(-\theta))=\operatorname{cis}n\theta\), aplicando el caso \(-n>0\). La segunda afirmación se obtiene elevando el factor \(r\) y usando la primera. \(\blacksquare\)
Ejemplos. Para calcular \((1+i)^{10}\), se escribe \(1+i=\sqrt2\operatorname{cis}\tfrac{\pi}{4}\), y entonces \((1+i)^{10}=(\sqrt2)^{10}\operatorname{cis}\tfrac{10\pi}{4}=32\operatorname{cis}\tfrac{5\pi}{2}=32\operatorname{cis}\tfrac{\pi}{2}=32i\), un cálculo que por la forma \(a+bi\) exigiría nueve productos.
El teorema, además, reencuentra las fórmulas del §7.3. Desarrollando \((\cos\theta+i\sin\theta)^3\) con el binomio, \(\cos^3\theta+3i\cos^2\theta\sin\theta-3\cos\theta\sin^2\theta-i\sin^3\theta\), e igualando con \(\cos3\theta+i\sin3\theta\) las partes real e imaginaria, resulta \(\cos3\theta=\cos^3\theta-3\cos\theta\sin^2\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta\) y \(\sin3\theta=3\cos^2\theta\sin\theta-\sin^3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta\), la fórmula del ángulo triple del §7.3.
Recordatorio. \((\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta\) para todo entero \(n\); \((r\operatorname{cis}\theta)^n=r^n\operatorname{cis}n\theta\).
§4. Raíces \(n\)-ésimas¶
Las raíces de un número complejo se obtienen invirtiendo el teorema de De Moivre.
Teorema. Sea \(w=\rho\operatorname{cis}\varphi\neq0\) y sea \(n\ge1\) un entero. La ecuación \(z^n=w\) tiene exactamente \(n\) soluciones complejas, que son $\(z_k=\rho^{1/n}\operatorname{cis}\frac{\varphi+2\pi k}{n},\qquad k=0,1,\dots,n-1\)$ donde \(\rho^{1/n}\) es la raíz \(n\)-ésima real positiva de \(\rho\) (§1.2).
Demostración. Sea \(z=r\operatorname{cis}\theta\) con \(r>0\). Por De Moivre, \(z^n=r^n\operatorname{cis}n\theta\), y la ecuación \(z^n=w\) se cumple exactamente cuando los módulos coinciden, \(r^n=\rho\), es decir \(r=\rho^{1/n}\), y los argumentos coinciden salvo múltiplos de \(2\pi\), \(n\theta=\varphi+2\pi k\) con \(k\in\mathbb{Z}\), por el teorema de la forma trigonométrica. Es decir, \(\theta=\dfrac{\varphi+2\pi k}{n}\) con \(k\in\mathbb{Z}\). Dos valores \(k\) y \(k'\) dan el mismo número si y solo si sus argumentos difieren en un múltiplo de \(2\pi\), es decir, si \(\dfrac{k-k'}{n}\) es entero, lo que equivale a que \(k\) y \(k'\) sean congruentes módulo \(n\). Por tanto los valores \(k=0,1,\dots,n-1\) dan \(n\) soluciones distintas, y cualquier otro \(k\) repite una de ellas. \(\blacksquare\)
Las \(n\) raíces tienen el mismo módulo \(\rho^{1/n}\) y argumentos que se diferencian en \(\dfrac{2\pi}{n}\): son los vértices de un polígono regular de \(n\) lados inscrito en la circunferencia de radio \(\rho^{1/n}\). En particular, las \(n\) raíces de la unidad, \(z^n=1\), son \(\operatorname{cis}\dfrac{2\pi k}{n}\). Que sean exactamente \(n\) es el máximo que permite el §3.4, donde un polinomio de grado \(n\) tiene a lo sumo \(n\) raíces: el teorema muestra que \(z^n-w\) alcanza esa cota.
Ejemplos. Las raíces cúbicas de \(8=8\operatorname{cis}0\) son \(z_k=2\operatorname{cis}\tfrac{2\pi k}{3}\): \(z_0=2\), \(z_1=2\operatorname{cis}\tfrac{2\pi}{3}=-1+i\sqrt3\) y \(z_2=2\operatorname{cis}\tfrac{4\pi}{3}=-1-i\sqrt3\), como en la Figura 7.5. Se verifica que \((-1+i\sqrt3)^3=8\operatorname{cis}2\pi=8\). Para \(z^4=-16=16\operatorname{cis}\pi\), el módulo es \(16^{1/4}=2\) y \(z_k=2\operatorname{cis}\dfrac{\pi+2\pi k}{4}\): \(\sqrt2+i\sqrt2\), \(-\sqrt2+i\sqrt2\), \(-\sqrt2-i\sqrt2\) y \(\sqrt2-i\sqrt2\), los cuatro vértices de un cuadrado.
Recordatorio. \(z^n=\rho\operatorname{cis}\varphi\) tiene \(n\) soluciones, \(\rho^{1/n}\operatorname{cis}\frac{\varphi+2\pi k}{n}\) para \(k=0,\dots,n-1\), vértices de un polígono regular de \(n\) lados.
La forma polar revela por qué los complejos no son un simple formalismo para dar sentido a \(\sqrt{-1}\). Un número complejo es una rotación combinada con un escalamiento: la información de \(z=r\operatorname{cis}\theta\) es exactamente la de cuánto agrandar y cuánto girar. Con esa lectura el producto deja de ser una regla y se vuelve inevitable: componer dos giros suma sus ángulos, y componer dos escalamientos multiplica sus factores. La correspondencia con la trigonometría también apunta hacia una identidad más profunda, según la cual \(\operatorname{cis}\theta\) se comporta como una función exponencial de \(\theta\): convierte sumas en productos, \(\operatorname{cis}(\alpha+\beta)=\operatorname{cis}\alpha\operatorname{cis}\beta\). Que esa exponencial sea literalmente \(e^{i\theta}\) exige definir la exponencial de un número complejo, tarea que pertenece al cálculo. {{Todo: fórmula de Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) | fuera del alcance del libro; Cálculo}}
Con esta sección el capítulo pasa de los números del plano a sus flechas. La sección siguiente estudia los vectores, donde la distancia y el ángulo entre dos flechas se combinan en una sola operación, el producto punto, que resulta ser la ley de los cosenos del §6.5 escrita con coordenadas.