Capítulo 8 - Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades¶

8.5 - Inversas de Matrices y Ecuaciones Matriciales¶

Despejar una incógnita es deshacer lo que se le hizo: para una ecuación $ax=b$ se divide por $a$, y para una ecuación matricial hay que decir qué significa dividir.

En los números, la ecuación $ax=b$ con $a\neq0$ se resuelve multiplicando por $a^{-1}$, el número que deshace a $a$. Para el sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ de la sección anterior se quisiera hacer lo mismo, y como el producto de matrices no es conmutativo, hay que ser cuidadoso con lo que se llama inversa. Esta sección define la matriz inversa, demuestra cuándo existe mediante la eliminación del §8.3, da fórmulas y un método de cálculo, y muestra cómo se despejan incógnitas en ecuaciones matriciales.

§1. La matriz inversa¶

Definición. Una matriz cuadrada $A$ de $n\times n$ es invertible si existe una matriz $B$ de $n\times n$ tal que $AB=BA=I_n$. Una matriz que no es invertible se llama singular.

Proposición 1. Si $A$ es invertible, su inversa es única, y se la denota $A^{-1}$. Además, si $A$ y $B$ son invertibles, entonces $A^{-1}$ y $AB$ lo son, con $(A^{-1})^{-1}=A$ y $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$; y en una matriz invertible vale la cancelación: si $AB=AC$, entonces $B=C$.

Demostración. Si $B$ y $C$ son inversas de $A$, entonces $B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C$. Que $A^{-1}$ es invertible con inversa $A$ es la definición leída al revés. Para el producto, $(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AA^{-1}=I$, y del mismo modo $(B^{-1}A^{-1})(AB)=I$; nótese que el orden se invierte. Para la cancelación, se multiplica $AB=AC$ por $A^{-1}$ a la izquierda. $\blacksquare$

No toda matriz no nula es invertible. La matriz $A=\begin{pmatrix}1&1\\ 1&1\end{pmatrix}$ cumple $A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$; si existiera $A^{-1}$, multiplicando por ella resultaría $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$, absurdo. En general, una matriz invertible no puede tener soluciones no triviales en $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$, y esa es la clave del criterio del §3.

§2. Ecuaciones matriciales¶

Proposición 2. Si $A$ es invertible, la ecuación $AX=B$ tiene exactamente una solución, $X=A^{-1}B$, y la ecuación $XA=B$ tiene exactamente una solución, $X=BA^{-1}$.

Demostración. Como $A(A^{-1}B)=(AA^{-1})B=B$, $X=A^{-1}B$ es solución. Y si $AX=B$, multiplicando a izquierda por $A^{-1}$ resulta $X=A^{-1}AX=A^{-1}B$: no hay otra. La segunda ecuación es análoga, multiplicando a derecha. $\blacksquare$

Como el producto no es conmutativo, el lado por el que se multiplica importa: en $AX=B$ se multiplica por $A^{-1}$ a la izquierda de ambos miembros, y en $XA=B$ a la derecha, y los resultados $A^{-1}B$ y $BA^{-1}$ son en general distintos. En particular, un sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ con $A$ invertible tiene la solución única $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$. Ecuaciones más elaboradas se despejan por pasos, con cuidado del orden: de $AX+C=D$ resulta $AX=D-C$ y luego $X=A^{-1}(D-C)$.

§3. Un criterio de invertibilidad¶

La eliminación del §8.3 da un criterio completo, que dice cuándo una matriz cuadrada es invertible sin necesidad de buscar la inversa.

Teorema 1. Para una matriz $A$ de $n\times n$, las siguientes afirmaciones son equivalentes:

Primero, $A$ es invertible. Segundo, el sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ tiene solo la solución trivial. Tercero, al escalonar el sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ quedan $n$ ecuaciones no nulas, cuyas incógnitas principales son $x_1,\dots,x_n$ en ese orden. Cuarto, para todo $\mathbf{b}\in\mathbb{R}^n$, el sistema $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene exactamente una solución.

Demostración. Se prueba (1) implica (2) implica (3) implica (4) implica (1). Si $A$ es invertible y $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$, entonces $\mathbf{x}=A^{-1}A\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{0}=\mathbf{0}$. Si vale (2) y al escalonar quedaran $r<n$ ecuaciones no nulas, habría al menos una incógnita libre, y por el Teorema 2 del §8.3 el sistema homogéneo tendría infinitas soluciones, contra (2); luego $r=n$, y como las incógnitas principales son $n$ índices distintos y crecientes entre $1$ y $n$, son $x_1,\dots,x_n$. Si vale (3), las mismas operaciones elementales aplicadas a $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ dan un sistema escalonado con $n$ ecuaciones no nulas y sin incógnitas libres, luego sin ninguna ecuación $0=b$, y con exactamente una solución por el Teorema 2 del §8.3. Finalmente, si vale (4), sea $\mathbf{x}_j$ la solución de $A\mathbf{x}=\mathbf{e}_j$, donde $\mathbf{e}_j$ es la columna $j$ de $I_n$, y sea $C$ la matriz de columnas $\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_n$. Entonces $AC=I$. Además $A(CA)=(AC)A=A$, es decir $A(CA-I)=O$, de modo que cada columna $\mathbf{y}$ de $CA-I$ cumple $A\mathbf{y}=\mathbf{0}$; por la unicidad en (4) con $\mathbf{b}=\mathbf{0}$, $\mathbf{y}=\mathbf{0}$. Luego $CA=I$, y $C=A^{-1}$. $\blacksquare$

Corolario. Si $A$ y $B$ son cuadradas del mismo tamaño y $BA=I$, entonces $A$ es invertible y $B=A^{-1}$. Basta, por lo tanto, una inversa de un solo lado.

Demostración. Si $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$, entonces $\mathbf{x}=BA\mathbf{x}=B\mathbf{0}=\mathbf{0}$; por el Teorema 1, $A$ es invertible, y $B=B(AA^{-1})=(BA)A^{-1}=A^{-1}$. $\blacksquare$

Recordatorio. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ tiene solo la solución trivial, si y solo si $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene solución única para todo $\mathbf{b}$. Si $A$ es invertible, $AX=B$ se resuelve $X=A^{-1}B$. Para matrices cuadradas, $BA=I$ ya implica $AB=I$.

§4. Cómo calcular una inversa¶

Matrices de $2\times2$.

Teorema 2. La matriz $A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ es invertible si y solo si $ad-bc\neq0$, y en ese caso $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$$

Demostración. Sea $\Delta=ad-bc$ y $B=\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$. Un cálculo directo da $AB=\begin{pmatrix}ad-bc&-ab+ba\\ cd-dc&-cb+da\end{pmatrix}=\Delta I$ y $BA=\Delta I$. Si $\Delta\neq0$, entonces $\frac{1}{\Delta}B$ es la inversa. Si $\Delta=0$, entonces $AB=O$; si $A$ fuese invertible, multiplicando por $A^{-1}$ resultaría $B=O$, es decir, $a=b=c=d=0$ y $A=O$, que no es invertible pues $OX=O\neq I$: absurdo. $\blacksquare$

Se reconoce el número $ad-bc$: es el $\Delta$ del §8.2 y el determinante de $A$, que el §8.6 estudia. La fórmula se recuerda así: se intercambian las entradas de la diagonal, se cambia el signo de las otras dos y se divide por $ad-bc$. Por ejemplo, el sistema $x+2y=5$, $3x-y=1$ del §8.2 tiene matriz $A=\begin{pmatrix}1&2\\ 3&-1\end{pmatrix}$, con $ad-bc=-7$, de modo que $A^{-1}=\frac{1}{7}\begin{pmatrix}1&2\\ 3&-1\end{pmatrix}$ y $\mathbf{x}=A^{-1}\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}=\frac17\begin{pmatrix}7\\14\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$, la solución hallada allí.

Matrices de cualquier tamaño: el método de Gauss–Jordan. Se llama matriz ampliada $[A | B]$ a la que se obtiene escribiendo las columnas de $B$ a continuación de las de $A$. Las operaciones elementales del §8.3 sobre las ecuaciones son operaciones sobre las filas de la matriz de coeficientes, y se escribe $F_i$ para la fila $i$. Cada una es la multiplicación por la izquierda por una matriz elemental: la que resulta de aplicar esa misma operación a $I$. Son de tres tipos: la que intercambia las filas $i$ y $j$; la que multiplica la fila $i$ por $c\neq0$; y la que suma $c$ veces la fila $i$ a la fila $j$. Se verifica directamente que $EM$ es el resultado de aplicar a $M$ la operación de $E$, y que cada $E$ es invertible, con inversa la matriz elemental de la operación contraria: intercambiar de nuevo, multiplicar por $1/c$, o sumar $-c$ veces.

Teorema 3. Si una sucesión de operaciones elementales lleva la matriz ampliada $[A | I]$ a $[I | B]$, entonces $A$ es invertible y $B=A^{-1}$. Recíprocamente, si $A$ es invertible, esa sucesión existe.

Demostración. Si $E$ es el producto de las matrices elementales de las operaciones realizadas, el resultado es $[EA | EI]=[EA | E]$. Entonces $EA=I$ y $B=E$, de modo que $BA=I$, y por el Corolario, $A$ es invertible y $B=A^{-1}$. Recíprocamente, si $A$ es invertible, por el Teorema 1 el escalonado de $A$ tiene $n$ incógnitas principales $x_1,\dots,x_n$, es decir, entradas no nulas en la diagonal y ceros debajo; dividiendo cada fila por su elemento diagonal y restando múltiplos de las filas inferiores a las superiores para anular las entradas sobre la diagonal, se llega a $I$. $\blacksquare$

El teorema también detecta la singularidad: si al escalonar aparece una fila nula en la parte de $A$, la matriz no es invertible.

Ejemplo. Sea $A=\begin{pmatrix}1&2&3\\ 0&1&4\\ 5&6&0\end{pmatrix}$. Se parte de $[A | I]$ y se aplican, en este orden, $F_3\leftarrow F_3-5F_1$, que da la fila $(0,-4,-15 | -5,0,1)$; $F_3\leftarrow F_3+4F_2$, que da $(0,0,1 | -5,4,1)$; $F_2\leftarrow F_2-4F_3$, que da $(0,1,0 | 20,-15,-4)$; $F_1\leftarrow F_1-3F_3$, que da $(1,2,0 | 16,-12,-3)$; y $F_1\leftarrow F_1-2F_2$, que da $(1,0,0 | -24,18,5)$. La matriz de la derecha es $$A^{-1}=\begin{pmatrix}-24&18&5\\ 20&-15&-4\\ -5&4&1\end{pmatrix}$$ Se verifica multiplicando: la primera fila de $A$ por las tres columnas de $A^{-1}$ da $-24+40-15=1$, $18-30+12=0$ y $5-8+3=0$, y las otras dos filas son análogas.

Recordatorio. Para $2\times2$: $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\ -c&a\end{pmatrix}$ si $ad-bc\neq0$. En general se lleva $[A | I]$ a $[I | A^{-1}]$ con operaciones elementales sobre las filas; si aparece una fila nula, $A$ no es invertible.

§5. Inversas de transformaciones¶

Por el Teorema 4 del §8.4, multiplicar por $A$ es aplicar una transformación, y multiplicar por $A^{-1}$ la deshace. Para las matrices de rotación, la inversa es inmediata: por el Teorema 5 del §8.4, $R_\theta R_{-\theta}=R_0=I$, luego $$R_\theta^{-1}=R_{-\theta}=\begin{pmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$$ que es $R_\theta$ con filas y columnas intercambiadas, porque $\cos(-\theta)=\cos\theta$ y $\sin(-\theta)=-\sin\theta$. Geométricamente, la rotación se deshace girando el mismo ángulo en sentido contrario. Y la reflexión $S$ cumple $S^2=I$, de modo que $S^{-1}=S$: reflejar dos veces es no hacer nada.

Un ejemplo de ecuación matricial. Sea $A=\begin{pmatrix}2&1\\ 5&3\end{pmatrix}$, con $ad-bc=1$, de modo que $A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\ -5&2\end{pmatrix}$. La ecuación $AX=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&2\end{pmatrix}$ tiene por única solución $X=A^{-1}\begin{pmatrix}1&0\\ 0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-2\\ -5&4\end{pmatrix}$, y se verifica: $AX=\begin{pmatrix}6-5&-4+4\\ 15-15&-10+12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\ 0&2\end{pmatrix}$.

Una observación práctica cierra la sección. Para resolver un sistema, la eliminación del §8.3 es más eficiente que calcular $A^{-1}$ y multiplicar, porque calcular la inversa equivale a resolver $n$ sistemas a la vez. La inversa se justifica cuando hay que resolver muchos sistemas con la misma matriz $A$ y distintos $\mathbf{b}$, o cuando interesa la propia transformación inversa, o cuando se la usa para razonar: la solución $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ muestra de un vistazo cómo depende $\mathbf{x}$ de $\mathbf{b}$.

El Teorema 1 reúne, en una sola equivalencia, cuatro maneras de decir lo mismo: que una matriz cuadrada tiene inversa, que solo anula al vector nulo, que el sistema que define tiene siempre solución única, y que la eliminación no deja ninguna incógnita libre. Es un ejemplo típico de un fenómeno recurrente de la matemática: propiedades que parecen distintas resultan ser una sola, y demostrar su equivalencia es más valioso que demostrar cualquiera de ellas por separado. Falta una quinta manera, la más económica: un número calculado a partir de las entradas que se anula exactamente cuando la matriz es singular. Para las matrices de $2\times2$ ya apareció, $ad-bc$.

Ese es el tema de la sección siguiente: los determinantes, su relación con la invertibilidad, y la regla de Cramer.