Capítulo 6 - Funciones Trigonométricas de Ángulos¶

6.6 - Cierre - Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas¶

Medir lo que no puede tocarse: la trigonometría nació de esa necesidad, y todavía la conserva.

Este capítulo hizo con las funciones trigonométricas lo inverso de lo que hace la tradición. Partió de la circunferencia del Capítulo 5, y de ella derivó el ángulo como giro, el radián como su medida natural, el triángulo rectángulo como una sección del primer cuadrante y, por último, las dos leyes que resuelven cualquier triángulo. Esta sección se detiene a mirar lo que quedó al fondo de esa construcción: para qué se inventó todo esto, qué se ha supuesto sin decirlo, y hasta dónde llega.

§1. Medir la Tierra con un ángulo¶

La primera aplicación célebre de la fórmula $s=r\theta$ es anterior a que existiera la notación para escribirla. Según la tradición que transmite Cleómedes, Eratóstenes de Cirene observó hacia el año 240 a. C. que, al mediodía del solsticio de verano, el Sol iluminaba el fondo de un pozo en Siena, es decir, estaba en la vertical, mientras que en Alejandría, situada aproximadamente al norte, los rayos formaban con la vertical un ángulo cercano a la cincuentava parte de una circunferencia. Con la distancia entre ambas ciudades, unos cinco mil estadios, tenía un arco $s$ y un ángulo central $\theta$; y la fórmula del §6.1 §3, despejada, da el radio: $r=s/\theta$. La circunferencia completa, $2\pi r=s\cdot\dfrac{2\pi}{\theta}$, resulta cincuenta veces $s$, o sea unos doscientos cincuenta mil estadios. Según la longitud que se atribuya al estadio, el resultado queda a un pequeño porcentaje del valor real.

Vale la pena notar lo que el argumento presupone: que la Tierra es esférica y que los rayos del Sol llegan paralelos, porque el Sol está lejos. Ninguna de las dos afirmaciones se demuestra con la medición; cada una es una hipótesis geométrica que la medición usa y no controla. Esa es la estructura de toda aplicación de este capítulo: un modelo geométrico, y un cálculo dentro del modelo cuya validez depende de que el modelo describa el mundo.

§2. Triangular: de la base al continente¶

Si medir un arco requiere recorrerlo, la trigonometría permite algo mejor: medir solo una distancia accesible, la base, y los ángulos bajo los cuales desde sus extremos se ve un punto lejano. Con el caso ángulo-lado-ángulo del §6.4 §2, la ley de los senos da las distancias al punto; ese punto se convierte en el vértice de un nuevo triángulo, y así se propaga la medición, de triángulo en triángulo, sobre terrenos donde no hace falta pisar la mayor parte de las distancias. Willebrord Snellius aplicó ese método en los Países Bajos y lo publicó en 1617 con el título significativo Eratosthenes Batavus, «el Eratóstenes holandés»: medía un arco de meridiano entre dos ciudades para calcular, como su antecesor, el tamaño de la Tierra. Dos siglos después, Gauss dirigió a partir de 1820 el levantamiento geodésico del reino de Hannover, uno de los trabajos que más contribuyeron a fundar la geodesia moderna.

Las leyes que hacen esto posible tienen una historia bastante más antigua que su formulación actual. Los libros II.12 y II.13 de los Elementos de Euclides contienen, en lenguaje geométrico, las dos versiones de lo que hoy se llama ley de los cosenos, una para el ángulo obtuso y otra para el agudo, sin coseno alguno: expresadas como relaciones entre cuadrados y rectángulos. La forma que hoy se escribe, adecuada al cálculo con tablas, suele atribuirse a al-Kāshī, en el siglo XV, y la ley de los senos para triángulos planos, como resultado independiente de la trigonometría esférica, a la tradición matemática islámica medieval, y en particular a Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī, en el siglo XIII. Nada de esto cambia lo que se demostró en las secciones anteriores; muestra, en cambio, que las dos leyes surgieron para resolver el mismo problema práctico, y que su demostración a partir de la circunferencia unitaria es una reconstrucción posterior, no un descubrimiento original.

§3. Lo que las leyes suponen¶

En el §6.2 se enumeraron con exactitud las premisas geométricas de las que depende el capítulo, y se dijo que su demostración corresponde a un curso de geometría. Conviene ahora medir cuánto pesa la primera de ellas. La afirmación (G1), que los ángulos de un triángulo suman $\pi$, no es un detalle técnico: dentro de la geometría euclidiana equivale al postulado de las paralelas, y sin ella el capítulo entero cambia de forma.

Sobre una esfera, por ejemplo, los triángulos formados por arcos de círculo máximo tienen ángulos cuya suma excede a $\pi$. El exceso no es un defecto: es proporcional al área del triángulo, según una fórmula que se debe a Albert Girard, en el siglo XVII, y para un triángulo en la esfera unitaria vale exactamente el área. Las leyes de este capítulo tienen su contraparte esférica. Si los lados de un triángulo esférico sobre la esfera de radio $1$ se miden como ángulos, la ley de los cosenos toma la forma $$\cos c=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos\gamma$$ que, para triángulos pequeños, donde $\cos x\approx1-\tfrac12x^2$ y $\sin x\approx x$, se reduce a $c^2\approx a^2+b^2-2ab\cos\gamma$: la ley del §6.5 aparece como el límite de la esférica cuando la curvatura se hace despreciable. La geometría plana es, en ese sentido, la geometría de lo pequeño. Gauss, que medía triángulos gigantescos sobre la superficie de la Tierra, tenía razones para sospechar que esa distinción no era solo teórica, y suele contarse que uno de esos triángulos, con vértices en tres cumbres alemanas, fue medido con la intención de comprobar la suma de sus ángulos, aunque los historiadores discuten cuál fue su verdadero propósito.

Hay, además, una lección sobre información dentro de la propia sección de las leyes. La ley de los senos es ambigua en el caso LLA porque el seno no distingue $\beta$ de $\pi-\beta$; la de los cosenos no lo es porque el coseno es inyectivo en $(0,\pi)$. La ambigüedad, entonces, no era una propiedad del triángulo, sino de la herramienta elegida para interrogarlo: hay preguntas que un instrumento no puede contestar aunque el objeto sí las contenga. Es la misma idea con que se cerró el §2.7, ahora aplicada a un instrumento de medición.

§4. Una aplicación: la paralaje estelar¶

Cuando la distancia que se busca es la de una estrella, la base disponible más grande es el diámetro de la órbita terrestre, y el ángulo, pequeñísimo. Un astro cercano parece desplazarse contra el fondo de estrellas remotas a lo largo de un año; la mitad de ese desplazamiento angular es la paralaje $p$, y el triángulo relevante es rectángulo, con cateto conocido igual al radio de la órbita, una unidad astronómica, y ángulo $p$ en la estrella. Por el §6.2, $\tan p=\dfrac{1\ \text{UA}}{d}$, y como $p$ es minúsculo, $\tan p\approx p$ expresado en radianes, de modo que $d\approx\dfrac{1\ \text{UA}}{p}$. Un segundo de arco es $\dfrac{\pi}{648 000}\approx4{,}85\cdot10^{-6}$ radianes, y por eso una estrella con paralaje de un segundo de arco está a unas $206 265$ unidades astronómicas, distancia que recibe el nombre de pársec. La definición de esta unidad es, por tanto, la fórmula $s=r\theta$ del §6.1 en su forma más pura.

Friedrich Bessel midió en 1838 la primera paralaje estelar fiable, la de la estrella 61 del Cisne, que resultó cercana a un tercio de segundo de arco: un poco más de tres pársecs, del orden de diez años luz. Con ello quedaba resuelto, por medios trigonométricos, un problema que se había sostenido durante siglos como imposible de abordar: el de la distancia a una estrella.

Los instrumentos del capítulo están completos, pero todavía se usan como piezas sueltas: se sabe evaluar seno y coseno en cualquier ángulo, y se sabe resolver triángulos, pero no se ha estudiado qué relaciones internas ligan esas evaluaciones, ni cómo se comportan al sumarse los ángulos, ni qué función devuelve un ángulo a partir de una razón, cuestión que este capítulo dejó señalada varias veces con corchetes. Esa es la tarea del capítulo siguiente. Y hay una pregunta que las secciones anteriores dejaron de otra manera pendiente: los números complejos del Capítulo 3, cuya forma polar usa exactamente un módulo y un ángulo, ¿qué relación guardan con lo construido aquí? [La respuesta está en el §7.6.]

Con el capítulo 6 cerrado, la trigonometría pasa de la medición a la álgebra: el Capítulo 7 estudia las identidades que unen a las seis funciones, las fórmulas para sumar ángulos, sus inversas y las ecuaciones que plantean, y la conexión con los complejos y con los vectores.