Capítulo 10 — Inducción, Recurrencia y Sumas¶
10.5 — El Teorema del Binomio¶
El capítulo 4 construyó \(e\) evitando el binomio de Newton; con el binomio demostrado, se lo puede recorrer de nuevo por otro camino, y ese camino llega más lejos.
Los desarrollos \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) y \((a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\) se usaron desde el §1.3. Su generalización a un exponente natural cualquiera es el teorema del binomio, y su demostración natural es por inducción. Por eso el capítulo 4 evitó usarlo al construir \(e\): habría sido una referencia hacia adelante. Esta sección lo demuestra y cumple con esa deuda de dos maneras. Primero desarrolla \(\left(1+\tfrac1n\right)^n\) con el binomio, lo que da una nueva prueba de que esa sucesión crece y muestra que su límite es también la suma de la serie \(\sum\tfrac{1}{k!}\). Después usa esa serie para probar algo que la construcción del capítulo 4 no podía alcanzar: que \(e\) es irracional.
Los coeficientes del desarrollo se definen aquí por una fórmula algebraica, sin ninguna interpretación como número de maneras de elegir objetos. Esa interpretación existe y pertenece a la combinatoria, que este libro no trata. Para el binomio no hace falta.
§1. Los coeficientes binomiales¶
Definición. Para \(n\in\mathbb{N}_0\) y \(k\) entero con \(0\leq k\leq n\), el coeficiente binomial es
Con los factoriales del §10.2 §3, \(\binom{n}{0}=\binom{n}{n}=1\), y de la definición se lee de inmediato la simetría \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\). Que el cociente sea un entero no es evidente, porque es un cociente de productos. Se sigue de la propiedad que sostiene todo lo demás.
Proposición (regla de Pascal). Para \(n\in\mathbb{N}_0\) y \(1\leq k\leq n\),
Demostración. Se lleva todo a denominador común \(k!\,(n+1-k)!\), usando \(k!=k\,(k-1)!\) y \((n+1-k)!=(n+1-k)\,(n-k)!\):
Proposición. Todo coeficiente binomial es un número natural.
Demostración. Por inducción en \(n\). Para \(n=0\), el único coeficiente es \(\binom{0}{0}=1\). Si todos los \(\binom{n}{k}\) son naturales, entonces \(\binom{n+1}{0}=\binom{n+1}{n+1}=1\) y, para \(1\leq k\leq n\), \(\binom{n+1}{k}\) es suma de dos naturales por la regla de Pascal, y es natural por el §10.1 §2. \(\blacksquare\)
La regla de Pascal dice que cada coeficiente es la suma de los dos que están por encima de él si se disponen en filas, una por cada \(n\). La disposición se llama triángulo de Pascal, aunque era conocida siglos antes en China, en la India y en el mundo islámico.
§2. El teorema¶
Teorema (del binomio). Para todos los números reales \(a\) y \(b\) y todo \(n\in\mathbb{N}_0\),
con la convención de que \(x^0=1\) también para \(x=0\).
Demostración. Por inducción en \(n\). Para \(n=0\) ambos miembros valen \(1\). Supóngase la igualdad para \(n\). Multiplicando por \(a+b\) y distribuyendo,
En la segunda suma se corre el índice, poniendo \(k+1\) en lugar de \(k\), y queda \(\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}a^{n+1-k}b^k\). Se separan el término \(k=0\) de la primera suma, que es \(a^{n+1}\), y el término \(k=n+1\) de la segunda, que es \(b^{n+1}\). Los términos restantes, con \(1\leq k\leq n\), tienen la misma potencia \(a^{n+1-k}b^k\) en ambas sumas, y por la linealidad del §10.2 §3 y la regla de Pascal se combinan en
Como \(\binom{n+1}{0}=\binom{n+1}{n+1}=1\), agregar los dos términos separados completa \(\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k\). \(\blacksquare\)
La estructura de la prueba vale la pena observarla. El paso inductivo consiste en multiplicar por \(a+b\), lo que duplica cada término y lo desplaza, y la regla de Pascal es exactamente la contabilidad de esa duplicación. El teorema del binomio y la regla de Pascal son la misma información: una escrita como identidad entre polinomios, la otra como identidad entre números.
Con \(a=b=1\) el teorema da \(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}=2^n\): la suma de cada fila del triángulo es una potencia de \(2\). Con \(a=1\) y \(b=-1\), y \(n\geq 1\), da \(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0\). Con \(a=1\) y \(b=x\geq 0\), todos los términos son no negativos, y quedarse con los tres primeros da
una mejora de la desigualdad de Bernoulli del §10.1 §4 para \(x\geq 0\).
Recordatorio. \(\binom{n}{k}=\tfrac{n!}{k!(n-k)!}\), \(\binom{n}{k-1}+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k}\), y \((a+b)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\). La regla de Pascal es el paso inductivo del teorema.
§3. El reencuentro con \(e\)¶
En el capítulo 4, \(e\) se construyó como límite de la sucesión \(a_n=\left(1+\tfrac1n\right)^n\), que allí se probó creciente y acotada, de modo que su límite es su supremo y cumple \(a_n\leq e\) para todo \(n\). El teorema del binomio permite desarrollarla. Con \(a=1\) y \(b=\tfrac1n\),
Sea \(t_k(n)\) ese término, para \(0\leq k\leq n\). La expresión como producto hace visibles dos propiedades. Cada factor \(1-\tfrac{j}{n}\) está entre \(0\) y \(1\) y crece con \(n\). Por lo tanto \(t_k(n)\leq t_k(n+1)\), y como \(a_{n+1}\) tiene además el término no negativo \(t_{n+1}(n+1)\), resulta \(a_n\leq a_{n+1}\). Es una prueba de la monotonía distinta de la del capítulo 4. Además \(t_k(n)\leq\tfrac{1}{k!}\), así que
Hacen falta dos desigualdades auxiliares, ambas por inducción. La primera es que \(k!\geq 2^{k-1}\) para \(k\geq 1\): vale para \(k=1\), y \((k+1)!=(k+1)\,k!\geq 2\cdot 2^{k-1}\). Por el §10.3 §2, se sigue que
La segunda es que, si \(x_1,\ldots,x_m\) están en \([0,1]\), entonces \(\prod_{j=1}^{m}(1-x_j)\geq 1-\sum_{j=1}^{m}x_j\). Para \(m=1\) es una igualdad. Si vale para \(m\), se multiplica la hipótesis por \(1-x_{m+1}\geq 0\), y como \(x_{m+1}\sum_{j\leq m}x_j\geq 0\),
Aplicada a los factores de \(t_k(n)\), con \(x_j=\tfrac{j}{n}\) y la suma del §10.3 §1, da \(t_k(n)\geq\tfrac{1}{k!}\left(1-\tfrac{k(k-1)}{2n}\right)\).
Teorema. \(\displaystyle e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\).
Demostración. Sea \(m\geq 2\) fijo y \(n\geq m\). Quedándose con los términos \(k\leq m\) del desarrollo de \(a_n\) y usando la cota inferior de \(t_k(n)\),
Si fuera \(s_m>e\), por la propiedad arquimediana existiría \(n\geq m\) con \(\tfrac{3}{2n}<s_m-e\), y para ese \(n\) sería \(a_n>e\), contra \(a_n\leq e\). Por lo tanto \(s_m\leq e\) para todo \(m\geq 2\), y también para \(m<2\), porque \((s_m)\) es creciente. Dado ahora \(\varepsilon>0\), como \(a_n\to e\) existe \(N\) tal que \(a_n>e-\varepsilon\) para \(n>N\). Para esos \(n\),
así que \(|s_n-e|<\varepsilon\). Las sumas parciales \(s_n\) convergen a \(e\). \(\blacksquare\)
La serie converge mucho más rápido que la sucesión que define a \(e\). Con diez términos, \(s_{10}\) ya coincide con \(e=2{,}718281828\ldots\) en sus primeras siete cifras decimales, mientras que \(a_{10}\approx 2{,}594\) ni siquiera acierta la primera.
§4. La irracionalidad de \(e\)¶
La rapidez de la convergencia no es solo una ventaja práctica. Es lo que permite probar que \(e\) no es un cociente de enteros.
Lema. Para todo \(n\in\mathbb{N}\), \(0<e-s_n\leq\dfrac{1}{n!\,n}\).
Demostración. Como la sucesión \((s_m)\) es estrictamente creciente y está acotada por su límite \(e\), se tiene \(s_n<s_{n+1}\leq e\), lo que da la primera desigualdad. Para la segunda, sea \(m>n\). Para \(n<k\leq m\),
porque cada uno de los \(k-n-1\) factores del denominador es al menos \(n+1\). Sumando y usando la suma geométrica del §10.3 §2 con \(r=\tfrac{1}{n+1}\),
Si fuera \(e-s_n>\tfrac{1}{n!\,n}\), como \(s_m\to e\), para \(m\) suficientemente grande se tendría \(s_m-s_n>\tfrac{1}{n!\,n}\), lo que es falso. \(\blacksquare\)
Teorema. \(e\) es irracional.
Demostración. Por el lema con \(n=1\) y \(n=2\), se tiene \(2=s_1<e\leq s_2+\tfrac14=\tfrac{11}{4}<3\), así que \(e\) no es entero. Supóngase que \(e=\tfrac{p}{q}\) con \(p,q\in\mathbb{N}\); entonces \(q\geq 2\). Sea \(x=q!\,(e-s_q)\). Por un lado, \(x\) es un entero. En efecto, \(q!\,e=(q-1)!\,p\) es entero, y \(q!\,s_q=\sum_{k=0}^{q}\tfrac{q!}{k!}\) es una suma de enteros, porque para \(k\leq q\) el cociente \(\tfrac{q!}{k!}\) es el producto de los naturales desde \(k+1\) hasta \(q\). Por otro lado, el lema con \(n=q\) da
Pero no hay enteros entre \(0\) y \(1\): los enteros positivos son naturales, y todo natural es al menos \(1\) (§10.1 §2). La contradicción prueba que \(e\) no es racional. \(\blacksquare\)
La demostración, debida esencialmente a Fourier, es notable por lo que usa. Solo necesita que la serie converja tan rápido que, multiplicada por \(q!\), la parte que falta sumar sea menor que \(1\) sin anularse. Es también la conclusión de un arco que empezó en el §1.1, donde los irracionales se definieron por lo que no son, por la ausencia de una fracción que los represente. Aquí aparece uno que no proviene de una raíz: construido en el capítulo 4 como límite de una sucesión, identificado aquí con la suma de una serie y reconocido, al final, como un número que ninguna fracción alcanza.
Recordatorio. \(e=\sum_{k=0}^\infty\tfrac{1}{k!}\), con error \(0<e-s_n\leq\tfrac{1}{n!\,n}\). Si \(e\) fuera \(\tfrac{p}{q}\), el número \(q!(e-s_q)\) sería un entero estrictamente entre \(0\) y \(1\).
Con el binomio y la irracionalidad de \(e\), el recorrido técnico del libro termina. El cierre revisa, como ensayo, las ideas que este capítulo puso en juego: qué son los números naturales, por qué el razonamiento por inducción es legítimo y qué queda del otro lado del umbral al que el libro llegó.