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Capítulo 7 - Trigonometría Analítica

7.7 - Vectores

Un vector es un desplazamiento: una longitud y una dirección que se pueden sumar, estirar y comparar; y el modo de compararlas es la ley de los cosenos.


Los números complejos de la sección anterior representan puntos del plano como pares de reales, y su suma es la de las flechas que los unen al origen. Esta sección toma ese punto de vista en un sentido más amplio: los vectores modelan cantidades que tienen magnitud y dirección, como un desplazamiento, una velocidad o una fuerza, y se estudian en el plano \(\mathbb{R}^2\) y en el espacio \(\mathbb{R}^3\) con un enfoque geométrico y operativo. Se define la suma, la multiplicación por un escalar y, sobre todo, una operación que combina dos vectores para producir un número: el producto punto. Ese producto codifica las longitudes y el ángulo entre los vectores, y la demostración de esto es lo que hace de esta sección una parte de la trigonometría y no un capítulo aparte.


§1. Vectores y sus operaciones

Definición. Un vector de \(\mathbb{R}^2\) es un par ordenado \(\mathbf{v}=(v_1,v_2)\) de números reales, y un vector de \(\mathbb{R}^3\) es una terna \(\mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3)\). Los números \(v_i\) son sus componentes. Geométricamente, \(\mathbf{v}\) se representa como la flecha que va del origen al punto de coordenadas \((v_1,v_2)\) o \((v_1,v_2,v_3)\). Cualquier flecha del punto \(P\) al punto \(Q\) representa el vector \(Q-P\), de modo que dos flechas paralelas, del mismo sentido y de la misma longitud representan el mismo vector.

Con componentes se definen las operaciones. La suma de \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) es la de las componentes, \(\mathbf{u}+\mathbf{v}=(u_1+v_1, u_2+v_2)\), y el producto por un escalar \(c\in\mathbb{R}\) es \(c\mathbf{v}=(cv_1,cv_2)\), con las expresiones análogas en \(\mathbb{R}^3\). Como se realizan componente a componente, heredan todas las propiedades de los reales: la suma es conmutativa y asociativa, tiene neutro \(\mathbf{0}=(0,0)\) y opuestos \(-\mathbf{v}=(-1)\mathbf{v}\), y el producto por escalar es distributivo respecto de la suma de vectores y de escalares.

Geométricamente, \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\) es la diagonal del paralelogramo de lados \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\): se recorre primero una flecha y, a continuación, la otra. Y \(c\mathbf{v}\) es la flecha de \(\mathbf{v}\) estirada por el factor \(|c|\), con el mismo sentido si \(c>0\) y el opuesto si \(c<0\).

A la izquierda, la suma de dos vectores u y v como diagonal del paralelogramo que forman; a la derecha, la proyección de v sobre u, con el ángulo θ entre ambos y la componente |v| cos θ sobre la dirección de u Figura 7.6 — Suma de vectores por la regla del paralelogramo, y proyección de \(\mathbf{v}\) sobre \(\mathbf{u}\).

La magnitud o norma de \(\mathbf{v}\) es su longitud, la distancia del origen al punto: \(|\mathbf{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2}\) en \(\mathbb{R}^2\) y \(|\mathbf{v}|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\) en \(\mathbb{R}^3\), por la fórmula de distancia. De la definición se sigue \(|c\mathbf{v}|=|c||\mathbf{v}|\), y si \(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\), el vector \(\dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}\) tiene magnitud \(1\) y la misma dirección que \(\mathbf{v}\): es un vector unitario. Los vectores unitarios \(\mathbf{i}=(1,0)\) y \(\mathbf{j}=(0,1)\), con \(\mathbf{k}=(0,0,1)\) en el espacio, permiten escribir \(\mathbf{v}=v_1\mathbf{i}+v_2\mathbf{j}\) o \(\mathbf{v}=v_1\mathbf{i}+v_2\mathbf{j}+v_3\mathbf{k}\).

En el plano, la trigonometría da otra descripción. Si \(\theta\) es el ángulo de posición estándar del lado final que contiene a la flecha \(\mathbf{v}\neq\mathbf{0}\), el teorema del §6.3 dice que $\(\mathbf{v}=|\mathbf{v}|(\cos\theta,\ \sin\theta)\)$ es decir, que un vector del plano queda determinado por su magnitud y su ángulo de dirección, la misma información que el módulo y el argumento de un complejo, y sumar vectores equivale a sumar los complejos correspondientes.

Recordatorio. Los vectores se suman y se escalan por componentes; \(|\mathbf{v}|\) es la distancia al origen; \(\mathbf{u}+\mathbf{v}\) es la diagonal del paralelogramo. En el plano, \(\mathbf{v}=|\mathbf{v}|(\cos\theta,\sin\theta)\).


§2. El producto punto

Definición. El producto punto de \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) es el número $\(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2\qquad\text{o}\qquad\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\)$ en \(\mathbb{R}^2\) o \(\mathbb{R}^3\). De la definición, componente a componente, se siguen las propiedades algebraicas: es conmutativo, \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}\); distributivo, \(\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}+\mathbf{w})=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{w}\); homogéneo, \((c\mathbf{u})\cdot\mathbf{v}=c(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\); y \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}=|\mathbf{u}|^2\).

Como definición, el producto punto es un cálculo sin apariencia geométrica. Lo notable es que contiene el ángulo entre los vectores. Para enunciarlo hace falta precisar qué ángulo. Dados dos vectores no nulos \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\), el ángulo entre ellos es la medida \(\theta\in[0,\pi]\) del ángulo convexo que forman las flechas del origen a \(U=\mathbf{u}\) y a \(V=\mathbf{v}\), definida como en el §7.2 por la longitud de un arco de la circunferencia unitaria; y es \(0\) si las flechas tienen el mismo sentido y \(\pi\) si tienen sentidos opuestos.

Teorema. Si \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) son vectores no nulos de \(\mathbb{R}^2\) o de \(\mathbb{R}^3\) y \(\theta\) es el ángulo entre ellos, $\(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta\)$

Demostración. Si las flechas son colineales, \(\mathbf{v}=c\mathbf{u}\) con \(c\neq0\): si \(c>0\), \(\theta=0\), y \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=c|\mathbf{u}|^2=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\); si \(c<0\), \(\theta=\pi\), y \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=c|\mathbf{u}|^2=-|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\), que es \(|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\pi\). En los demás casos, \(O\), \(U\) y \(V\) forman un triángulo de lados \(|\mathbf{u}|\), \(|\mathbf{v}|\) y \(|\mathbf{u}-\mathbf{v}|\), con ángulo \(\theta\) en \(O\). La ley de los cosenos del §6.5 —que también vale para un triángulo en el espacio, porque solo depende de las longitudes de sus lados y de la medida de su ángulo, y ese triángulo es congruente por LLL con uno del plano— da $\(|\mathbf{u}-\mathbf{v}|^2=|\mathbf{u}|^2+|\mathbf{v}|^2-2|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta\)$ Por otra parte, por las propiedades del producto punto, \(|\mathbf{u}-\mathbf{v}|^2=(\mathbf{u}-\mathbf{v})\cdot(\mathbf{u}-\mathbf{v})=|\mathbf{u}|^2-2 \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+|\mathbf{v}|^2\). Igualando ambas expresiones y cancelando, resulta \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta\). \(\blacksquare\)

Esta demostración cumple la promesa que el §6.5 hizo en su cierre: el producto \(ab\cos\gamma\) de la ley de los cosenos es, exactamente, el producto punto de los dos lados que forman el ángulo. Del teorema se siguen cuatro consecuencias.

Corolario. Para vectores \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\):

Primero, la desigualdad de Cauchy–Schwarz, \(|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\), con igualdad si y solo si uno es múltiplo del otro. Segundo, la desigualdad triangular, \(|\mathbf{u}+\mathbf{v}|\le|\mathbf{u}|+|\mathbf{v}|\). Tercero, si ambos son no nulos, el ángulo entre ellos es \(\theta=\arccos\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}\). Y cuarto, \(\mathbf{u}\) y \(\mathbf{v}\) son perpendiculares, es decir, \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\), si y solo si \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0\).

Demostración. Si alguno es nulo, todo es evidente. En caso contrario, para la primera, \(|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|=|\mathbf{u}||\mathbf{v}||\cos\theta|\le|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\), con igualdad si y solo si \(\cos\theta=\pm1\), es decir, \(\theta\in\{0,\pi\}\), que es que las flechas sean colineales. Para la segunda, \(|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2=|\mathbf{u}|^2+2 \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+|\mathbf{v}|^2\le|\mathbf{u}|^2+2|\mathbf{u}||\mathbf{v}|+|\mathbf{v}|^2=(|\mathbf{u}|+|\mathbf{v}|)^2\), y se extrae raíz cuadrada. Para la tercera, el cociente \(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}=\cos\theta\) está en \([-1,1]\) y \(\theta\in[0,\pi]\) es el rango de \(\arccos\) (§7.4). Para la cuarta, \(\cos\theta=0\) con \(\theta\in[0,\pi]\) equivale a \(\theta=\pi/2\). \(\blacksquare\)

Ejemplos. El ángulo entre \(\mathbf{u}=(1,2)\) y \(\mathbf{v}=(3,-1)\) cumple \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=3-2=1\), \(|\mathbf{u}|=\sqrt5\) y \(|\mathbf{v}|=\sqrt{10}\), luego \(\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{50}}=\dfrac{\sqrt2}{10}\) y \(\theta\approx81{,}87^\circ\). Los vectores \((2,3)\) y \((-3,2)\) son perpendiculares, porque \(-6+6=0\). En el espacio, para \(\mathbf{u}=(1,2,2)\) y \(\mathbf{v}=(2,-1,2)\), resulta \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=2-2+4=4\), \(|\mathbf{u}|=|\mathbf{v}|=3\), y \(\theta=\arccos\dfrac49\approx63{,}61^\circ\).

Recordatorio. \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta\); se demuestra con la ley de los cosenos. De allí: Cauchy–Schwarz \(|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|\le|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\); triangular \(|\mathbf{u}+\mathbf{v}|\le|\mathbf{u}|+|\mathbf{v}|\); \(\theta=\arccos\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}||\mathbf{v}|}\); perpendiculares si y solo si \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0\).


§3. Proyecciones

Descomponer un vector en una parte paralela a otro y una perpendicular es una de las operaciones más frecuentes.

Definición. Sea \(\mathbf{u}\neq\mathbf{0}\). La proyección de \(\mathbf{v}\) sobre \(\mathbf{u}\) es el vector $\(\operatorname{proy}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|^2} \mathbf{u}\)$ y su componente escalar sobre \(\mathbf{u}\) es \(\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|}=|\mathbf{v}|\cos\theta\).

Proposición. El vector \(\mathbf{v}-\operatorname{proy}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}\) es perpendicular a \(\mathbf{u}\), de modo que \(\mathbf{v}\) es la suma de un vector paralelo a \(\mathbf{u}\) y uno perpendicular a \(\mathbf{u}\).

Demostración. Sea \(c=\dfrac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|^2}\). Entonces \((\mathbf{v}-c\mathbf{u})\cdot\mathbf{u}=\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}-c|\mathbf{u}|^2=\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}-\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=0\), y por el corolario anterior son perpendiculares. La descomposición es \(\mathbf{v}=c\mathbf{u}+(\mathbf{v}-c\mathbf{u})\). \(\blacksquare\)

Geométricamente, la componente escalar es la longitud con signo de la «sombra» de \(\mathbf{v}\) sobre la recta de \(\mathbf{u}\), como se ve en la Figura 7.6, y su valor \(|\mathbf{v}|\cos\theta\) es lo que la trigonometría del triángulo rectángulo del §6.2 predice para el cateto adyacente.

Ejemplo. Para \(\mathbf{u}=(3,4)\) y \(\mathbf{v}=(2,1)\), \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=10\) y \(|\mathbf{u}|^2=25\), luego \(\operatorname{proy}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}=\tfrac{10}{25}(3,4)=\left(\tfrac65,\tfrac85\right)\), y la parte perpendicular es \(\mathbf{v}-\operatorname{proy}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}=\left(\tfrac45,-\tfrac35\right)\). Se verifica: \(\tfrac45\cdot3-\tfrac35\cdot4=0\).

Recordatorio. \(\operatorname{proy}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{|\mathbf{u}|^2}\mathbf{u}\); la diferencia \(\mathbf{v}-\operatorname{proy}_{\mathbf{u}}\mathbf{v}\) es perpendicular a \(\mathbf{u}\).


§4. Aplicaciones

Dos fuerzas de \(30\) N y \(40\) N actúan sobre un punto con un ángulo de \(60^\circ\) entre ellas. La fuerza resultante es la suma de los vectores, y su magnitud sale del producto punto: \(|\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2|^2=|\mathbf{F}_1|^2+2 \mathbf{F}_1\cdot\mathbf{F}_2+|\mathbf{F}_2|^2=900+2\cdot30\cdot40\cos60^\circ+1600=3700\), es decir, \(|\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2|=\sqrt{3700}\approx60{,}83\) N. Con componentes, si \(\mathbf{F}_1\) apunta según el eje \(x\), la resultante es \((30+40\cos60^\circ,\ 40\sin60^\circ)=(50,\ 20\sqrt3)\), y forma con \(\mathbf{F}_1\) un ángulo \(\arctan\dfrac{20\sqrt3}{50}\approx34{,}72^\circ\).

El trabajo que una fuerza constante \(\mathbf{F}\) realiza al desplazar un cuerpo por \(\mathbf{d}\) se define como \(\mathbf{F}\cdot\mathbf{d}=|\mathbf{F}||\mathbf{d}|\cos\theta\): solo cuenta la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento. Una fuerza de \(50\) N que forma \(30^\circ\) con un desplazamiento de \(10\) m realiza un trabajo de \(50\cdot10\cos30^\circ=250\sqrt3\approx433\) J.

{{Todo: producto vectorial en \(\mathbb{R}^3\) y espacios vectoriales abstractos | fuera del alcance del libro; Álgebra Lineal y Cálculo Vectorial}}


La demostración del teorema de esta sección invierte el orden habitual con que se presenta el producto punto. En muchos textos se define \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\) como \(|\mathbf{u}||\mathbf{v}|\cos\theta\) y se deduce la fórmula con componentes; aquí se define con componentes, que es una operación puramente algebraica, y se demuestra que contiene el ángulo. La consecuencia es que Cauchy–Schwarz, una desigualdad que en un curso abstracto se prueba con un argumento aparte, es aquí una observación: el coseno no supera a \(1\). Y el ángulo entre dos vectores, que en un espacio sin geometría sería una definición, es en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\) un hecho medido con longitudes de arco, del que el producto punto es, sencillamente, una manera de calcularlo. Queda abierta la pregunta de en qué medida el producto punto sigue significando un ángulo cuando el espacio no tiene tres dimensiones sino cuatro, o infinitas, y ahí es donde la desigualdad de Cauchy–Schwarz, ya sin triángulos que la sostengan, debe demostrarse a partir de las propiedades algebraicas del producto punto.

Con los vectores el capítulo completa sus instrumentos. La sección de cierre reúne lo hecho: las identidades, los complejos y los vectores son tres maneras de escribir un mismo hecho sobre sumar ángulos y medir distancias.