Capítulo 6 - Funciones Trigonométricas de Ángulos¶

6.5 - Ley de los Cosenos¶

Pitágoras vale para todos los triángulos, a condición de corregirlo con el coseno del ángulo que separa a los dos lados.

La ley de los senos relaciona un lado con su ángulo opuesto, de modo que exige conocer al menos un par de esos elementos. Deja sin resolver, por tanto, dos situaciones frecuentes: cuando se conocen dos lados y el ángulo que forman, y cuando se conocen los tres lados. Esta sección resuelve ambas con una sola identidad, que además generaliza el teorema de Pitágoras. Se conserva la notación del §6.4: en un triángulo $ABC$, los ángulos $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ están en $A$, $B$, $C$, y los lados opuestos miden $a$, $b$, $c$.

§1. La ley de los cosenos¶

Teorema (ley de los cosenos). En todo triángulo $ABC$, $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$ y, por simetría de los papeles de los vértices, $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha$ y $b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta$.

Demostración. Se elige un sistema de coordenadas con el vértice $C$ en el origen y el lado $CB$ sobre el semieje positivo de abscisas, y con $A$ en el semiplano superior. [Que esta elección no altera distancias ni ángulos se justifica en el §7.2 §1.] Entonces $B=(a,0)$. El lado $CA$ tiene longitud $b$ y forma con el semieje un ángulo de medida $\gamma$, de modo que $A$ está sobre el lado final del ángulo de medida $\gamma$, a distancia $b$ del origen. Por el teorema del §6.3, $A=(b\cos\gamma,\ b\sin\gamma)$. Por la fórmula de distancia del §1.8, $$c^2=|AB|^2=(b\cos\gamma-a)^2+(b\sin\gamma)^2=b^2\cos^2\gamma-2ab\cos\gamma+a^2+b^2\sin^2\gamma$$ y agrupando $b^2(\cos^2\gamma+\sin^2\gamma)=b^2$ por la identidad fundamental del §5.3, resulta $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$. $\blacksquare$

La demostración es tan directa porque el trabajo ya estaba hecho: el teorema del §6.3 permitió escribir un punto cualquiera del lado final de $\gamma$ con el coseno y el seno de $\gamma$, sea $\gamma$ agudo, recto u obtuso, sin distinguir casos. Nótese que la fórmula incluye a Pitágoras: si $\gamma=\pi/2$, entonces $\cos\gamma=0$ y $c^2=a^2+b^2$. Para los demás ángulos, el término $-2ab\cos\gamma$ es la corrección: reduce el cuadrado del lado opuesto si $\gamma$ es agudo y lo aumenta si es obtuso, lo que confirma la imagen geométrica de que, con $a$ y $b$ fijos, el lado $c$ crece a medida que se abre el ángulo que lo enfrenta.

Un triángulo ABC con C en el origen y CB sobre el eje x: B = (a, 0) y A = (b cos γ, b sen γ); la distancia AB al cuadrado se calcula con la fórmula de distancia Figura 6.9 — Coordenadas para demostrar la ley de los cosenos. La ordenada de $A$ es $b\sin\gamma$ y su abscisa es $b\cos\gamma$; $c=|AB|$ se obtiene con la fórmula de distancia.

De la identidad se leen dos consecuencias inmediatas.

Corolario 1 (clasificación). El ángulo $\gamma$ es agudo, recto u obtuso según sea $c^2<a^2+b^2$, $c^2=a^2+b^2$ o $c^2>a^2+b^2$.

Demostración. De la ley, $a^2+b^2-c^2=2ab\cos\gamma$, y como $2ab>0$, este número tiene el signo de $\cos\gamma$. Por la tabla de signos del §6.3, $\cos\gamma$ es positivo, nulo o negativo según $\gamma$ sea menor, igual o mayor que $\pi/2$. $\blacksquare$

Corolario 2 (el ángulo queda determinado por los lados). En todo triángulo, $$\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$ y $\gamma$ es el único ángulo de $(0,\pi)$ con ese coseno.

Demostración. La igualdad es un despeje de la ley. Para la unicidad, sean $\gamma,\gamma'\in(0,\pi)$ con $\cos\gamma=\cos\gamma'$. Los puntos $W(\gamma)$ y $W(\gamma')$ tienen la misma abscisa $x$ y ordenadas positivas (§6.3), luego la misma ordenada $\sqrt{1-x^2}$, y por tanto son el mismo punto. Como $W$ es inyectiva en $[0,2\pi)$ (§5.2), $\gamma=\gamma'$. $\blacksquare$

El Corolario 2 es la razón profunda de que la ley de los cosenos no tenga ambigüedad. El coseno, a diferencia del seno, es inyectivo en $(0,\pi)$, y por eso el valor de $\cos\gamma$ identifica un solo ángulo: no existe un análogo de $\pi-\beta$. Nótese también que la condición $-1<\cos\gamma<1$ equivale a $(a-b)^2<c^2<(a+b)^2$, es decir, a $|a-b|<c<a+b$: la desigualdad triangular aparece aquí, sin ser buscada, como la condición para que un coseno sea un coseno.

Recordatorio. Ley de los cosenos: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$. Se demuestra con $C=(0,0)$, $B=(a,0)$, $A=(b\cos\gamma,b\sin\gamma)$ y la fórmula de distancia. El signo de $a^2+b^2-c^2$ clasifica a $\gamma$, y $\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ determina $\gamma$ de modo único.

§2. Resolución de triángulos: LAL y LLL¶

Con la ley de los cosenos se resuelven los dos casos que la ley de los senos no alcanza.

Dos lados y el ángulo comprendido (LAL). Se conocen, por ejemplo, $a$, $b$ y $\gamma$. El tercer lado es $c=\sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}$, y los otros dos ángulos se obtienen de $\cos\alpha=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ y $\cos\beta=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$, que determinan cada ángulo de modo único por el Corolario 2. No se recurre a la ley de los senos para hallar los ángulos porque esta, con un ángulo agudo o obtuso, reabriría la ambigüedad del §6.4.

Los tres lados (LLL). Se conocen $a$, $b$ y $c$, con $|a-b|<c<a+b$. Los tres ángulos salen de las tres fórmulas anteriores. Como cada coseno pertenece a $(-1,1)$ precisamente por la desigualdad triangular, la resolución siempre es posible cuando el triángulo existe.

Para pasar del coseno al ángulo, se usa la tecla de coseno inverso de la calculadora. [Su justificación es el §7.4 §3.]

Ejemplos. Con $a=8$, $b=5$ y $\gamma=60^\circ$: $c^2=64+25-2\cdot8\cdot5\cos60^\circ=89-40=49$, de donde $c=7$. Luego $\cos\alpha=\dfrac{25+49-64}{2\cdot5\cdot7}=\dfrac{1}{7}$ y $\alpha\approx81{,}79^\circ$, y $\cos\beta=\dfrac{64+49-25}{2\cdot8\cdot7}=\dfrac{11}{14}$ y $\beta\approx38{,}21^\circ$. La suma $60^\circ+81{,}79^\circ+38{,}21^\circ=180^\circ$ verifica el resultado.

Con los lados $a=5$, $b=6$ y $c=7$, que cumplen $|5-6|<7<11$: $\cos\gamma=\dfrac{25+36-49}{2\cdot5\cdot6}=\dfrac{1}{5}$, luego $\gamma\approx78{,}46^\circ$; $\cos\alpha=\dfrac{36+49-25}{2\cdot6\cdot7}=\dfrac{5}{7}$, luego $\alpha\approx44{,}42^\circ$; y $\cos\beta=\dfrac{25+49-36}{2\cdot5\cdot7}=\dfrac{19}{35}$, luego $\beta\approx57{,}12^\circ$. La suma de los tres ángulos es $180{,}00^\circ$.

Recordatorio. LAL: $c$ por la ley de los cosenos y luego los ángulos con $\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ y $\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$. LLL: los tres ángulos con esas mismas fórmulas. En ambos casos la solución es única: no hay caso ambiguo.

§3. La fórmula de Herón¶

La ley de los cosenos permite calcular el área de un triángulo conociendo solo sus tres lados, sin altura ni ángulo. Sea $p=\dfrac{a+b+c}{2}$ el semiperímetro.

Teorema (fórmula de Herón). El área $S$ de un triángulo de lados $a$, $b$ y $c$ es $$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

Demostración. Por el corolario del §6.4, $S=\tfrac12 ab\sin\gamma$, luego basta hallar $\sin\gamma$. Como $\sin^2\gamma=1-\cos^2\gamma=(1-\cos\gamma)(1+\cos\gamma)$, y por el Corolario 2 $\cos\gamma=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$, se calculan los dos factores. Por un lado, $$1+\cos\gamma=\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}=\frac{2p\cdot2(p-c)}{2ab}=\frac{2p(p-c)}{ab}$$ y por otro, $$1-\cos\gamma=\frac{c^2-(a-b)^2}{2ab}=\frac{(c-a+b)(c+a-b)}{2ab}=\frac{2(p-a)\cdot2(p-b)}{2ab}=\frac{2(p-a)(p-b)}{ab}$$ Multiplicando, $\sin^2\gamma=\dfrac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{(ab)^2}$, y como $\sin\gamma>0$ (§6.3), $\sin\gamma=\dfrac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{ab}$. Entonces $S=\tfrac12 ab\sin\gamma=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$. $\blacksquare$

Ejemplo. Para el triángulo de lados $5$, $6$ y $7$: $p=9$ y $S=\sqrt{9\cdot4\cdot3\cdot2}=\sqrt{216}=6\sqrt6\approx14{,}70$. Como comprobación, con $\sin\gamma=\sqrt{1-\frac{1}{25}}=\dfrac{2\sqrt6}{5}$ resulta $\tfrac12\cdot5\cdot6\cdot\dfrac{2\sqrt6}{5}=6\sqrt6$, el mismo número.

Recordatorio. Herón: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ con $p=\frac{a+b+c}{2}$. Se obtiene de $S=\frac12ab\sin\gamma$ y de factorizar $1\pm\cos\gamma$ con la ley de los cosenos.

La ley de los cosenos puede leerse de otra manera, sin triángulos. Si se piensan $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$ como dos flechas que parten de $C$, de longitudes $b$ y $a$ y con ángulo $\gamma$ entre ellas, la identidad expresa el cuadrado de la longitud de su diferencia, $\vec{AB}=\vec{CB}-\vec{CA}$, en términos de las longitudes y del ángulo, y contiene, como término central, el producto $ab\cos\gamma$, que es la proyección de una flecha sobre la otra multiplicada por la longitud de esta. Ese producto reaparecerá en el §7.7 con nombre propio. Una segunda lectura conduce todavía más cerca: si $A$ y $B$ son dos puntos de la circunferencia unitaria, $a=b=1$, la ley de los cosenos da la distancia entre ellos en función del ángulo que los separa, y esa distancia, calculada de otra manera con coordenadas, es la clave de las fórmulas de suma y resta del §7.2.

Con las dos leyes ya demostradas, el capítulo puede cerrar mirando lo que ellas hicieron posible: medir distancias inaccesibles, y con ello, medir el mundo. Ese es el tema de la sección de cierre.