Capítulo 8 - Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades¶

8.2 - Pares de Rectas¶

Dos rectas del plano pueden cortarse en un punto, no cortarse nunca, o ser la misma; y el álgebra decide cuál de las tres ocurre con una sola cuenta.

El caso más pequeño de un sistema lineal es también el que se puede ver: dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas son dos rectas, y su conjunto solución es la intersección de dos rectas del plano. La geometría anticipa que esa intersección puede ser un punto, vacía, o toda la recta. Esta sección demuestra que esas son las únicas posibilidades, da un criterio algebraico que distingue una de otra, y lo lee con dos lenguajes ya conocidos: las pendientes del §1.10 y los vectores del §7.7.

§1. El sistema de dos ecuaciones lineales¶

Por el §1.10, toda recta del plano tiene una ecuación de la forma $ax+by+C=0$ con $a$ y $b$ no ambos nulos. Se la escribe aquí con el término independiente a la derecha, $ax+by=c$ con $c=-C$, porque es la forma natural para un sistema. Sean entonces $$\begin{cases}a_1x+b_1y=c_1\\ a_2x+b_2y=c_2\end{cases}$$ con $(a_1,b_1)\neq(0,0)$ y $(a_2,b_2)\neq(0,0)$, y sea $$\Delta=a_1b_2-a_2b_1$$

Teorema 1. Para el sistema anterior:

Primero, si $\Delta\neq0$, el sistema tiene exactamente una solución, $$x=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{\Delta}\qquad y=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{\Delta}$$ Segundo, si $\Delta=0$, el sistema no tiene solución o tiene infinitas, y se da uno u otro caso según que exista o no un número $\lambda\neq0$ con $(a_2,b_2,c_2)=\lambda(a_1,b_1,c_1)$.

Demostración. Sea $\Delta\neq0$. Si $(x,y)$ es una solución, multiplicando la primera ecuación por $b_2$, la segunda por $b_1$ y restando, resulta $(a_1b_2-a_2b_1)x=c_1b_2-c_2b_1$; multiplicando la primera por $a_2$, la segunda por $a_1$ y restando en el orden inverso, resulta $(a_1b_2-a_2b_1)y=a_1c_2-a_2c_1$. Como $\Delta\neq0$, estos son necesariamente los valores dados: no hay otra solución posible. Falta verificar que ellos sí son solución, y es un cálculo directo: $$a_1x+b_1y=\frac{a_1c_1b_2-a_1c_2b_1+b_1a_1c_2-b_1a_2c_1}{\Delta}=\frac{c_1(a_1b_2-a_2b_1)}{\Delta}=c_1$$ y análogamente $a_2x+b_2y=c_2$. Sea ahora $\Delta=0$, es decir $a_1b_2=a_2b_1$. Entonces existe $\lambda\neq0$ con $(a_2,b_2)=\lambda(a_1,b_1)$: si $a_1\neq0$, se toma $\lambda=a_2/a_1$ y de $a_1b_2=a_2b_1$ se sigue $b_2=\lambda b_1$; si $a_1=0$, es $b_1\neq0$, de $a_2b_1=0$ resulta $a_2=0$, y se toma $\lambda=b_2/b_1$, que no es nulo porque $(a_2,b_2)\neq(0,0)$. Con esto, el primer miembro de la segunda ecuación es $\lambda(a_1x+b_1y)$, y el sistema equivale a $a_1x+b_1y=c_1$ y $\lambda(a_1x+b_1y)=c_2$. Si $c_2=\lambda c_1$, la segunda ecuación es la primera multiplicada por $\lambda\neq0$, equivalente por la Proposición 1 del §8.1, y el conjunto solución es el de una sola ecuación lineal, la recta $a_1x+b_1y=c_1$, con infinitos puntos. Si $c_2\neq\lambda c_1$, una solución cumpliría $a_1x+b_1y=c_1$, y por lo tanto $c_2=\lambda(a_1x+b_1y)=\lambda c_1$, contradicción: no hay solución. $\blacksquare$

El número $\Delta=a_1b_2-a_2b_1$ recibe el nombre de determinante del sistema, y se estudiará en el §8.6 como un objeto propio. Aquí basta observar lo que decide: si es distinto de cero hay solución única, y si es cero el sistema es degenerado, con dos subcasos.

§2. Lectura geométrica¶

Proposición 2. Dadas dos rectas $a_1x+b_1y=c_1$ y $a_2x+b_2y=c_2$:

Primero, $\Delta\neq0$ si y solo si las rectas tienen distinta dirección, y en ese caso se cortan en un único punto. Segundo, $\Delta=0$ si y solo si tienen la misma dirección, es decir, igual pendiente o ambas verticales; y son coincidentes cuando además $(a_2,b_2,c_2)$ es múltiplo no nulo de $(a_1,b_1,c_1)$, y paralelas distintas en caso contrario.

Demostración. Si ambas son no verticales, es decir $b_1\neq0$ y $b_2\neq0$, sus pendientes son $m_1=-a_1/b_1$ y $m_2=-a_2/b_2$ (§1.10), y $m_1=m_2$ equivale a $a_1b_2=a_2b_1$, es decir, a $\Delta=0$; por el §1.10, igual pendiente es paralelismo, y aquí se incluye entre las rectas de igual dirección a las coincidentes. Si una es vertical y la otra no, digamos $b_1=0$ y $b_2\neq0$, entonces $\Delta=-a_2\cdot0+a_1b_2=a_1b_2\neq0$ (pues $a_1\neq0$) y las rectas no son paralelas. Si ambas son verticales, $b_1=b_2=0$, $\Delta=0$ y son paralelas o coincidentes. El resto es el Teorema 1. $\blacksquare$

Las tres posiciones se ilustran en la Figura 8.2.

Tres pares de rectas: secantes con un único punto de intersección (1, 2), paralelas distintas sin puntos comunes, y coincidentes con todos los puntos en común Figura 8.2 — Las tres posiciones relativas de dos rectas: una, ninguna o infinitas soluciones.

El lenguaje de los vectores da una segunda lectura, más geométrica que la de las pendientes y que no distingue rectas verticales. Sea $\mathbf{n}=(a,b)$ el vector de los coeficientes de la recta $ax+by=c$. Por el producto punto del §7.7, la ecuación dice $\mathbf{n}\cdot X=c$ para $X=(x,y)$. Si $X_0$ es un punto de la recta, $X$ está en ella si y solo si $\mathbf{n}\cdot(X-X_0)=0$, es decir, si y solo si $X-X_0$ es perpendicular a $\mathbf{n}$. Por eso $\mathbf{n}$ se llama vector normal de la recta: es perpendicular a todos los desplazamientos sobre ella. En este lenguaje, $\Delta=0$ significa que los vectores normales $(a_1,b_1)$ y $(a_2,b_2)$ son proporcionales, es decir, paralelos, y por lo tanto también las rectas. Y como girar un cuarto de vuelta conserva ángulos (§7.2), el ángulo entre dos rectas es el ángulo entre sus normales, de modo que dos rectas son perpendiculares si y solo si $$a_1a_2+b_1b_2=0$$ que generaliza la condición $m_1m_2=-1$ del §1.10, pues con $m_i=-a_i/b_i$ se convierte en $a_1a_2=-b_1b_2$; y a diferencia de aquella, vale también cuando una recta es vertical y la otra horizontal, $x=1$ e $y=2$, con normales $(1,0)$ y $(0,1)$.

Recordatorio. El sistema $a_1x+b_1y=c_1$, $a_2x+b_2y=c_2$ tiene solución única si y solo si $\Delta=a_1b_2-a_2b_1\neq0$, que es que las rectas tengan distinta dirección. Si $\Delta=0$, son paralelas distintas, sin solución, o coincidentes, con infinitas. Perpendicularidad: $a_1a_2+b_1b_2=0$.

§3. Ejemplos y discusión con parámetros¶

Secantes. En $x+2y=5$, $3x-y=1$ se tiene $\Delta=1\cdot(-1)-3\cdot2=-7\neq0$, y por las fórmulas $x=\dfrac{5\cdot(-1)-1\cdot2}{-7}=1$ e $y=\dfrac{1\cdot1-3\cdot5}{-7}=2$: el punto $(1,2)$ de la Figura 8.2. Se verifica: $1+4=5$ y $3-2=1$.

Paralelas. En $2x-4y=6$, $x-2y=1$ se tiene $\Delta=2\cdot(-2)-1\cdot(-4)=0$. Con $\lambda=\tfrac12$, $(a_2,b_2)=\lambda(2,-4)$, pero $\lambda c_1=3\neq1=c_2$: rectas paralelas distintas, sin solución.

Coincidentes. En $2x-4y=2$, $x-2y=1$ también $\Delta=0$, y ahora $(1,-2,1)=\tfrac12(2,-4,2)$: la segunda ecuación es la primera dividida por $2$. Las soluciones son todos los puntos de la recta: $(1+2t,\ t)$ para $t\in\mathbb{R}$, escritos con un parámetro $t$ que recorre los reales.

Un sistema con parámetro. Se pide discutir, según $k\in\mathbb{R}$, el sistema $x+ky=1$, $kx+y=1$. Su determinante es $\Delta=1-k^2$. Si $k\neq\pm1$, hay solución única, $x=\dfrac{1-k}{1-k^2}=\dfrac{1}{1+k}$ e $y=\dfrac{1-k}{1-k^2}=\dfrac{1}{1+k}$. Si $k=1$, ambas ecuaciones son $x+y=1$: infinitas soluciones. Si $k=-1$, el sistema es $x-y=1$, $-x+y=1$, que sumadas dan $0=2$: ninguna solución. La discusión completa cabe en tres renglones, porque $\Delta$ concentra toda la información sobre el tipo de solución.

Un problema. Un comerciante mezcla café de 8 pesos el kilo con otro de 12 pesos para obtener 20 kg de mezcla que valga 9,5 pesos el kilo. Si $x$ e $y$ son los kilos de cada café, $x+y=20$ y $8x+12y=190$. Aquí $\Delta=1\cdot12-8\cdot1=4$, y $x=\dfrac{20\cdot12-190\cdot1}{4}=12{,}5$, $y=\dfrac{1\cdot190-8\cdot20}{4}=7{,}5$: 12,5 kg del barato y 7,5 kg del caro.

Con dos ecuaciones y dos incógnitas, todo lo que hay que saber cabe en un número, $\Delta$. La cuestión es cuánto de esto sobrevive cuando las ecuaciones y las incógnitas son más: tres planos en el espacio pueden cortarse en un punto, en una recta, o no cortarse, y con cuatro o cinco incógnitas ya no hay figura que ver. Lo notable es que la tricotomía de este capítulo, una solución, ninguna o infinitas, seguirá valiendo sin excepción, y que el procedimiento que la demuestra es una generalización directa de la eliminación que aquí se usó para hallar $x$ e $y$.

Ese es el tema de la sección siguiente, donde la eliminación se organiza en un algoritmo, el de Gauss, que resuelve cualquier sistema lineal, de cualquier tamaño.