Capítulo 10 - Inducción, Recurrencia y Sumas¶

El libro empezó por los números naturales y los presentó como una lista, \(\{1,2,3,\dots\}\), confiando en que los puntos suspensivos se entendieran. Sobre esa lista se construyeron los enteros, los racionales y los reales, y a lo largo de nueve capítulos se usaron, sin nombrarlos, dos procedimientos que los puntos suspensivos contienen: demostrar que algo vale para todo \(n\) porque vale para \(1\) y se transmite de cada número al siguiente, y definir una sucesión dando su primer término y la regla que produce cada término a partir del anterior. La desigualdad de Bernoulli del capítulo 4, las sucesiones que construyeron \(e\) y \(\pi\), e incluso la definición de \(a^n\) como producto de \(n\) factores, descansan en ellos. Este capítulo final los funda.

La fundación ocupa las dos primeras secciones. Los naturales se definen como el menor subconjunto de \(\mathbb{R}\) que contiene al \(1\) y es cerrado bajo el paso al siguiente, y de esa definición el principio de inducción sale como teorema. Un segundo teorema garantiza que las definiciones por recurrencia determinan una única sucesión. Las secciones siguientes usan esas herramientas en su terreno natural, el de las sumas: las progresiones, la serie geométrica, que es la única suma infinita que el libro estudia y con la que se prueba que todo decimal periódico es racional, y el teorema del binomio. Este último permite volver a la \(e\) del capítulo 4 por un camino distinto y demostrar que es irracional. El cierre, que es también el cierre de la obra, vuelve a la pregunta con que el libro empezó: qué son los números y en qué descansa la certeza de lo que se demuestra sobre ellos.

Contenido del capítulo¶

10.1 El Principio de Inducción: \(\mathbb{N}\) como el menor subconjunto inductivo de \(\mathbb{R}\); el principio de inducción como teorema; propiedades elementales de los naturales; inducción desde \(n_0\) e inducción fuerte; el principio del buen orden; la desigualdad de Bernoulli y el principio del palomar.
10.2 Definiciones por Recurrencia: Sucesiones como funciones \(\mathbb{N}\to\mathbb{R}\); el teorema de recursión; potencias, factoriales, \(\sum\) y \(\prod\) definidos por recurrencia; propiedades de las sumas; recurrencias de orden dos y la fórmula de Binet.
10.3 Progresiones: Progresiones aritméticas y geométricas; término general y suma finita; las sumas de \(k\), \(k^2\) y \(k^3\); verificar una fórmula frente a descubrirla; el área bajo la parábola como anticipo.
10.4 La Suma de Infinitos Términos: Series como límites de sumas parciales; convergencia de la serie geométrica si y solo si \(|r|<1\); todo decimal periódico es racional y todo racional tiene un desarrollo decimal finito o periódico.
10.5 El Teorema del Binomio: Coeficientes binomiales definidos algebraicamente; regla de Pascal; el teorema del binomio por inducción; el reencuentro con \(e\) como suma de \(\sum 1/k!\); la irracionalidad de \(e\).
10.6 Cierre - Epistemología e Historia: Maurolico y Pascal; Dedekind y Was sind und was sollen die Zahlen?; Peano; Poincaré frente a Russell; los modelos no estándar; el infinito como umbral del Cálculo.

"Decir 'y así sucesivamente' es fácil; saber por qué se tiene derecho a decirlo es el contenido de este capítulo."