Capítulo 9 — Las Cónicas como Lugares Geométricos¶
9.4 — La Excentricidad¶
Tres curvas definidas por tres condiciones distintas resultan ser una sola condición con un número que varía; la diferencia entre ellas es de grado, no de naturaleza.
Las tres cónicas se presentaron por separado. La parábola se definió en el §9.2 por una igualdad entre la distancia a un punto y la distancia a una recta. La elipse y la hipérbola se definieron en el §9.3 por la suma y la diferencia de las distancias a dos puntos. Nada en esas definiciones sugiere un parentesco, salvo un detalle que el §9.3 dejó señalado: los radios focales de la elipse y de la hipérbola resultaron lineales en \(x\), con la misma razón \(c/a\) en ambos casos. Esta sección muestra que ese detalle es la huella de una condición común. Basta tomar la definición de la parábola y permitir que la razón entre las dos distancias sea un número positivo cualquiera, en lugar de \(1\). Para valores menores que \(1\) se obtienen todas las elipses; para valores mayores, todas las hipérbolas. La circunferencia queda fuera, y se verá por qué.
§1. La definición unificada¶
Definición. Sean \(F\) un punto, \(\ell\) una recta con \(F\notin\ell\) y \(e>0\) un número real. La cónica de foco \(F\), directriz \(\ell\) y excentricidad \(e\) es el lugar
Para \(e=1\) la definición es, literalmente, la de la parábola del §9.2. Lo que hay que averiguar es qué lugar resulta cuando \(e\neq 1\), y si ese lugar tiene algo que ver con las curvas del §9.3.
Como en las secciones anteriores, la directriz se supone paralela a un eje de coordenadas; la restricción se levanta en el §9.6. Se toma como eje \(x\) la recta que pasa por \(F\) y es perpendicular a \(\ell\), de modo que \(\ell\) es vertical. Queda por elegir el origen sobre ese eje, y la elección que simplifica las cuentas no es la evidente. Sea \(d=d(F,\ell)>0\) y defínase
Los números \(ae\) y \(\tfrac{a}{e}\) difieren en \(\left|\tfrac{a}{e}-ae\right|=\tfrac{a}{e}|1-e^2|=d\). Por lo tanto, existe un único punto del eje, y una única orientación de este, tales que el foco queda en \(F=(ae,0)\) y la directriz es la recta \(x=\tfrac{a}{e}\). Si \(e<1\), entonces \(ae<\tfrac{a}{e}\) y la directriz queda más lejos del origen que el foco; si \(e>1\), ocurre al revés. Ese origen será, como se va a probar, el centro de la cónica.
Teorema. En el sistema descrito, la cónica de foco \(F=(ae,0)\), directriz \(x=\tfrac{a}{e}\) y excentricidad \(e\neq 1\) tiene la ecuación
En consecuencia, si \(0<e<1\), la cónica es la elipse de semieje \(a\) y focos \((\pm ae,0)\). Si \(e>1\), es la hipérbola de semieje \(a\) y focos \((\pm ae,0)\).
Demostración. Un punto \(P=(x,y)\) pertenece a la cónica si y solo si
Por el §1.8 §2 y el §9.2 §1, este es exactamente el enunciado de la condición. Ambos miembros son no negativos, así que elevar al cuadrado es una equivalencia (§9.1 §2). Como \(e\left(x-\tfrac{a}{e}\right)=ex-a\), la condición equivale a
es decir, \(x^2-2aex+a^2e^2+y^2=e^2x^2-2aex+a^2\). El término \(-2aex\) aparece en ambos miembros y se cancela, y lo que queda equivale a
Dividiendo por \(a^2(1-e^2)\neq 0\) se obtiene la ecuación del enunciado. Toda la cadena consistió en equivalencias.
Si \(0<e<1\), se pone \(c=ae\), con \(0<c<a\), y \(b^2=a^2-c^2=a^2(1-e^2)>0\). La ecuación es \(\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1\), que por el §9.3 §2 es la de la elipse de focos \((\pm c,0)\) y semieje \(a\). Si \(e>1\), se pone \(c=ae>a\) y \(b^2=c^2-a^2=a^2(e^2-1)>0\). Entonces \(a^2(1-e^2)=-b^2\), la ecuación es \(\tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1\), y por el §9.3 §4 es la de la hipérbola de focos \((\pm c,0)\) y semieje \(a\). \(\blacksquare\)
Hay que notar lo que la demostración no usó. No hubo que elevar dos veces al cuadrado, ni verificar signos en la recíproca, ni separar casos hasta el final. La razón es que la condición del foco y la directriz compara una sola raíz cuadrada con una expresión lineal. La definición por dos focos del §9.3 comparaba dos raíces entre sí, y por eso exigía el rodeo por la identidad \(r_1^2-r_2^2=4cx\). La definición unificada es, además de más general, más simple.
§2. La recíproca: toda elipse y toda hipérbola tienen directrices¶
El teorema prueba que cada par formado por un foco y una directriz, junto con una excentricidad distinta de \(1\), produce una elipse o una hipérbola. Falta la afirmación inversa: que toda elipse y toda hipérbola del §9.3 se obtienen así. Esto no se sigue de lo anterior sin más, porque en el §9.3 las curvas se dieron por dos focos y un semieje, no por un foco y una recta.
Proposición. Sea una elipse o una hipérbola con centro en el origen, focos \((\pm c,0)\) y semieje \(a\). Pónganse
Entonces la curva es la cónica de foco \(F_2=(c,0)\), directriz \(\ell_2\) y excentricidad \(e\), y también la cónica de foco \(F_1=(-c,0)\), directriz \(\ell_1\) y excentricidad \(e\). En la elipse \(0<e<1\); en la hipérbola \(e>1\).
Demostración. En la elipse \(0<c<a\), así que \(0<e<1\); en la hipérbola \(c>a\), así que \(e>1\). En ambos casos \(F_2=(ae,0)\) y \(\ell_2\) es la recta \(x=\tfrac{a}{e}\), que es la configuración del teorema del §1. Ese teorema da como ecuación de la cónica \(\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\), y como \(a^2(1-e^2)=a^2-c^2\), esta es la ecuación canónica de la curva dada. Dos lugares con la misma ecuación son el mismo conjunto. Para el otro par, la reflexión \((x,y)\mapsto(-x,y)\) conserva distancias (§9.2 §3), deja invariante la ecuación canónica y lleva \(F_2\) a \(F_1\) y \(\ell_2\) a \(\ell_1\). \(\blacksquare\)
La elipse y la hipérbola tienen, entonces, dos directrices, una asociada a cada foco. La parábola tiene una sola, igual que tiene un solo foco. La directriz de cada foco es la más cercana a él: en ambos casos \(\tfrac{a}{e}\) y \(c\) tienen el mismo signo. Pero las posiciones relativas difieren. En la elipse, \(\tfrac{a}{e}>a\), y las directrices quedan fuera de la curva, más allá de los vértices. En la hipérbola, \(\tfrac{a}{e}<a\), y las directrices cruzan la franja \(|x|<a\) que separa las dos ramas, donde la curva no tiene puntos.
La proposición explica la observación que cerraba el §9.3. Allí se encontró que un punto de la elipse tiene radio focal \(r_2=a-\tfrac{c}{a}x\). Ahora se ve que
donde la última igualdad usa que \(x\leq a<\tfrac{a}{e}\). El radio focal era lineal en \(x\) porque es proporcional a la distancia a una recta vertical, y la constante de proporcionalidad \(c/a\) era la excentricidad. Lo mismo ocurre en la hipérbola, donde \(r_2=|ex-a|=e\left|x-\tfrac{a}{e}\right|\).
Recordatorio. \(d(P,F)=e\,d(P,\ell)\): elipse si \(0<e<1\), parábola si \(e=1\), hipérbola si \(e>1\). En la elipse y la hipérbola, \(e=\tfrac{c}{a}\) y las directrices son \(x=\pm\tfrac{a}{e}\).
§3. La excentricidad como medida de la forma¶
El nombre proviene del latín ex centro, "fuera del centro". En la elipse y la hipérbola, \(e=\tfrac{c}{a}\) mide cuánto se alejan los focos del centro en proporción al semieje. Pero su significado es más preciso: la excentricidad determina la forma de la cónica y nada más que la forma.
Proposición. Sea \(\lambda>0\). La correspondencia \((x,y)\mapsto(\lambda x,\lambda y)\) multiplica todas las distancias por \(\lambda\) y transforma la cónica de foco \(F\), directriz \(\ell\) y excentricidad \(e\) en la cónica de foco \(\lambda F\), directriz \(\lambda\ell\) y la misma excentricidad \(e\). En consecuencia, dos cónicas con la misma excentricidad son semejantes: una se obtiene de la otra por un cambio de escala seguido de un cambio de posición.
Demostración. Por la fórmula del §1.8 §2, \(d\big((\lambda x_1,\lambda y_1),(\lambda x_2,\lambda y_2)\big)=\sqrt{\lambda^2\big((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\big)}=\lambda\,d\big((x_1,y_1),(x_2,y_2)\big)\). La correspondencia es biyectiva y lleva rectas en rectas, de modo que también multiplica por \(\lambda\) la distancia de un punto a una recta, que es un mínimo de distancias. La condición \(d(P,F)=e\,d(P,\ell)\) equivale entonces a \(d(\lambda P,\lambda F)=e\,d(\lambda P,\lambda\ell)\), porque ambos miembros quedan multiplicados por el mismo \(\lambda\). Para la segunda afirmación, dos cónicas con excentricidad \(e\neq 1\) pueden llevarse, por el teorema del §1, a las ecuaciones canónicas con semiejes \(a\) y \(a'\) y la misma \(e\). El cambio de escala con \(\lambda=\tfrac{a'}{a}\) transforma la primera en la segunda, porque la ecuación del §1 depende solo de \(a\) y de \(e\). Si \(e=1\), las dos son parábolas \(x^2=2py\) y \(x^2=2p'y\), y el cambio de escala con \(\lambda=\tfrac{p'}{p}\) transforma la primera en la segunda: si \(x^2=2py\), entonces \((\lambda x)^2=2(\lambda p)(\lambda y)\). \(\blacksquare\)
La consecuencia para las parábolas es notable, y contradice la intuición que dejan sus gráficas. Todas las parábolas tienen la misma forma, del mismo modo que todas las circunferencias la tienen. Una parábola "abierta" y otra "cerrada", como \(y=\tfrac{1}{10}x^2\) e \(y=10x^2\), no difieren en forma sino en escala: la segunda es la primera vista desde cien veces más lejos. Las elipses, en cambio, forman una familia de formas indexada por \(e\in(0,1)\), y las hipérbolas otra indexada por \(e\in(1,+\infty)\). En la elipse, la razón entre los ejes es \(\tfrac{b}{a}=\sqrt{1-e^2}\): cerca de \(e=0\) la curva es casi redonda, y cerca de \(e=1\) es muy alargada. En la hipérbola, la pendiente de las asíntotas es \(\tfrac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}\): cerca de \(e=1\) las ramas son estrechas, y al crecer \(e\) se abren. La hipérbola equilátera del §9.3 §5, con \(b=a\), tiene excentricidad \(\sqrt{2}\).
Las órbitas de los cuerpos del sistema solar, que el cierre del capítulo retomará, son el ejemplo clásico de esta escala. La órbita de la Tierra tiene excentricidad cercana a \(0{,}017\) y es, a simple vista, indistinguible de una circunferencia. La de Mercurio, cercana a \(0{,}21\), ya es visiblemente alargada, y la del cometa Halley, cercana a \(0{,}97\), está al borde de abrirse en parábola.
§4. La circunferencia como caso límite¶
La circunferencia no pertenece a la familia de la definición unificada. Con \(e=0\) la condición \(d(P,F)=0\cdot d(P,\ell)\) se reduce a \(P=F\), y el lugar es un único punto. Tampoco puede obtenerse con otro valor de \(e\), porque para \(e>0\) el teorema del §1 produce una elipse de focos distintos, con \(b<a\), o una parábola, o una hipérbola, y ninguna de ellas es una circunferencia.
La relación entre ambas curvas es, sin embargo, estrecha, y el teorema la muestra. Si se fija el semieje \(a\) y se hace tender \(e\) a \(0\), los focos \((\pm ae,0)\) se juntan en el centro, el semieje menor \(b=a\sqrt{1-e^2}\) tiende a \(a\) y la ecuación \(\tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{a^2(1-e^2)}=1\) se acerca a \(x^2+y^2=a^2\). Al mismo tiempo, las directrices \(x=\pm\tfrac{a}{e}\) se alejan sin límite. La circunferencia es el límite de las elipses de excentricidad decreciente, y en ese límite sus directrices desaparecen del plano. Este es el sentido preciso de la afirmación de que la circunferencia es la cónica de excentricidad cero: es el extremo de la familia al que las elipses se acercan sin alcanzarlo, y en el que la construcción del foco y la directriz deja de tener sentido.
Recordatorio. La excentricidad determina la forma: cónicas con igual \(e\) son semejantes, y todas las parábolas lo son entre sí. La circunferencia es el límite \(e\to 0\) de las elipses con semieje fijo; no tiene directriz.
Con la definición unificada, cada cónica con ejes paralelos a los de coordenadas tiene una de unas pocas ecuaciones canónicas, trasladadas a su centro o a su vértice. La sección siguiente recorre el camino inverso: dada una ecuación de segundo grado sin término \(xy\), decide qué cónica describe, si describe alguna.