Capítulo 8 - Sistemas de Ecuaciones y Desigualdades¶
8.8 - Cierre - Epistemología, Historia y Aplicaciones Científicas¶
Durante siglos, un sistema fue un problema que se resolvía; hoy es un objeto que se estudia. Entre una cosa y la otra está la historia de este capítulo.
El capítulo empezó con una pregunta práctica, qué valores satisfacen varias condiciones a la vez, y terminó con una estructura: tablas de números que se multiplican, se invierten y miden áreas. Esta sección reconstruye ese camino desde la historia, nombra el hecho que unifica los resultados dispersos, y cierra con las aplicaciones que dieron al tema su lugar en la ciencia moderna.
§1. El método más antiguo del libro¶
La eliminación que el §8.3 llamó de Gauss es uno de los procedimientos más antiguos del libro que siguen vigentes sin cambios. En China, el capítulo octavo de los Nueve capítulos sobre el arte matemático, una compilación cuyos materiales se remontan a los siglos anteriores a nuestra era, y que Liu Hui comentó en el siglo III, se titula Fangcheng, que puede traducirse como «disposición rectangular». Enseña a resolver sistemas de varias ecuaciones colocando los coeficientes en columnas sobre un tablero de varillas de cálculo y operando entre columnas hasta que las incógnitas quedan aisladas: es, salvo la escritura, el método del §8.3, y es también, sin nombre, una matriz.
El nombre de Gauss llegó mucho después, y conviene decirlo con cuidado. Gauss usó y sistematizó la eliminación en los primeros años del siglo XIX, en sus cálculos de órbitas con mínimos cuadrados, y el procedimiento de escalonar quedó ligado a su nombre; pero no lo inventó, y su versión tiene antecedentes en Newton y, mucho antes, en la tradición china. A Wilhelm Jordan, un geodesta alemán, se debe la variante que continúa la eliminación hacia arriba hasta la identidad, la del §8.5, que su manual de geodesia difundió a fines del siglo XIX. Los nombres de los métodos, como los de muchos teoremas, registran quién los hizo célebres antes que quién los descubrió.
§2. Del número al objeto: determinantes y matrices¶
Los determinantes preceden a las matrices. El japonés Seki Takakazu y Leibniz, de manera independiente, los descubrieron en los años 1680 y 1690, buscando condiciones para que un sistema de ecuaciones tuviera solución; y Gabriel Cramer publicó en 1750 la regla que lleva su nombre, en un apéndice de un tratado sobre curvas algebraicas, donde la necesitaba para determinar los coeficientes de una curva que pasa por puntos dados. Cauchy fijó en 1812 el uso moderno de la palabra, y en ese mismo año Binet y él demostraron la multiplicatividad del determinante en general, resultado que el §8.6 verificó solo para el orden dos.
La palabra matriz la introdujo J. J. Sylvester en 1850, para designar una tabla de la que se extraen determinantes, y fue Arthur Cayley quien, en 1858, dio el paso decisivo: dejó de mirar la tabla como un envoltorio de los determinantes y la trató como un objeto con álgebra propia, con suma, producto e inversa. Su definición del producto no es arbitraria. Cayley la motivó, como lo hizo el §8.4, por la composición de sustituciones lineales, y advirtió en el mismo trabajo que el producto no es conmutativo.
Esa no conmutatividad, que el §8.4 mostró con un contraejemplo de dos líneas, tuvo un destino inesperado. En 1925, cuando Werner Heisenberg buscaba una descripción de los átomos que usara solo cantidades observables, obtuvo unas tablas de magnitudes cuya multiplicación dependía del orden; Max Born reconoció en ellas la multiplicación de matrices, y con Pascual Jordan la convirtió en la mecánica matricial. El hecho de que la posición y el momento de una partícula no conmuten, que es el núcleo del principio de incertidumbre, se expresa con la desigualdad entre \(AB\) y \(BA\) de una manera que Cayley no pudo prever.
§3. Un solo hecho con muchos rostros¶
Mirado en conjunto, el capítulo demostró varias veces lo mismo. Para una matriz cuadrada de orden \(2\) o \(3\), las siguientes afirmaciones son equivalentes: la matriz es invertible; el sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{0}\) tiene solo la solución trivial; el sistema \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) tiene solución única para todo \(\mathbf{b}\); la eliminación no deja incógnitas libres; el determinante no se anula; y la transformación del plano que \(A\) define no aplasta el cuadrado unitario en un segmento. Son seis escrituras de una sola propiedad: que \(A\) es una transformación reversible, que no pierde información.
Ese hecho se vuelve a encontrar con el capítulo anterior. Las matrices de rotación \(R_\theta\) son las transformaciones más simples que conservan las distancias, tienen determinante \(1\) y satisfacen \(R_\alpha R_\beta=R_{\alpha+\beta}\), que es la fórmula de suma de ángulos escrita con tablas; y esa misma fórmula es el producto de dos complejos de módulo \(1\) y la suma de dos ángulos en el producto punto, como se vio en el §7.8. El plano tiene una estructura, la de sus giros, y esa estructura se escribe en cuatro lenguajes distintos, cada uno con sus propios cálculos.
La lección epistemológica es un cambio de pregunta. Al comienzo del capítulo, un sistema era un problema: hallar \(x\) e \(y\). Al final, el objeto de estudio es la matriz \(A\), y el sistema es una de las cosas que se pueden decir de ella. Preguntas como cuándo un sistema es resoluble para cualquier \(\mathbf{b}\) se contestan sin resolver ningún sistema, mirando una propiedad de \(A\). Ese giro, de resolver ecuaciones a estudiar las estructuras que las producen, es el que da origen al álgebra moderna, y este capítulo es una de sus primeras escenas. También muestra un límite: el libro se detuvo en los órdenes \(2\) y \(3\), donde todo se puede demostrar con cuentas explícitas, y lo que ocurre en dimensión \(n\) arbitraria, con el rango, los espacios vectoriales y los determinantes generales, exige un lenguaje más abstracto que pertenece al álgebra lineal. {{Todo: rango, espacios vectoriales y determinantes de orden \(n\) | Álgebra Lineal}}
§4. Optimizar: la programación lineal¶
Los sistemas de desigualdades tienen una prehistoria breve y una historia de fines de los años treinta. Joseph Fourier ya había considerado en la década de 1820 el problema de resolver desigualdades lineales, con un método de eliminación de variables, pero sin una motivación práctica que lo sostuviera. La motivación llegó con la planificación. En 1939, el matemático soviético Leonid Kantorovich formuló, para un problema de producción de una fábrica de contrachapado, lo que hoy se llama un problema de programación lineal, y desarrolló un método de resolución; su trabajo tuvo poca difusión en su momento. Tjalling Koopmans, por su parte, estudió el problema del transporte, y ambos compartieron en 1975 el premio Nobel de economía.
El método que hizo del tema una herramienta cotidiana fue el símplex, que George Dantzig desarrolló en 1947 mientras planificaba operaciones para la fuerza aérea de los Estados Unidos. La palabra programación de su nombre significa, en ese contexto, planificación, y es anterior al uso informático de la palabra. El símplex se apoya en el teorema del §8.7: recorre los vértices de la región factible, moviéndose de uno a otro en el que la función objetivo mejora, sin enumerarlos todos. Ese mismo año, John von Neumann señaló la relación de dualidad entre un problema de programación lineal y otro asociado. {{Todo: método símplex y dualidad | Investigación Operativa}}
Las aplicaciones son las de toda decisión con recursos limitados: la asignación de la producción de una planta, la mezcla de ingredientes de menor costo que cumpla requisitos nutricionales, el trazado de rutas y la asignación de horarios. La matriz inversa tiene aplicaciones igual de directas. El economista Wassily Leontief, premio Nobel de economía en 1973, modeló las relaciones entre los sectores de una economía con un sistema lineal \((I-A)\mathbf{x}=\mathbf{d}\), donde \(A\) describe cuánto insumo de cada sector requiere la producción de otro, \(\mathbf{d}\) es la demanda final y \(\mathbf{x}\) la producción necesaria; la solución \(\mathbf{x}=(I-A)^{-1}\mathbf{d}\) es el tipo de resultado del §8.5. Y en gráficos por computadora, cada movimiento de un objeto en pantalla es un producto de matrices como los de la Figura 8.3, cuya composición se calcula con la asociatividad del §8.4.
El libro ha pasado, en este capítulo, de los números a las estructuras. Los números se suman y se multiplican conmutativamente; las matrices se suman conmutativamente, pero se multiplican de un modo que depende del orden, y sin embargo conservan la asociatividad, la distributividad y un neutro. Es un caso ejemplar de una operación familiar que se generaliza perdiendo una de sus propiedades y conservando las demás, y de ese ejercicio surge la pregunta central del álgebra abstracta: qué propiedades de una operación son las que hacen posible el cálculo.
Con este capítulo termina el estudio de los sistemas de ecuaciones y de desigualdades: de la pregunta de cuántas soluciones hay a la de qué estructura las produce.