Capítulo 1 — Conceptos Fundamentales¶
1.3 — Expresiones Algebraicas¶
Factorizar no es alterar una expresión, sino cambiar su perspectiva para hacer visible lo que estaba oculto.
En el §1.1 fijamos los números reales y en el §1.2 sus potencias y raíces. Ahora damos el paso hacia el lenguaje simbólico del álgebra: combinar números y letras mediante las operaciones que ya conocemos. Todo lo que sigue se reduce a dos movimientos opuestos. Desarrollar una expresión es convertir un producto en una suma, aplicando la distributividad de izquierda a derecha, de \(a(b+c)\) a \(ab+ac\). Factorizar es el movimiento inverso: convertir una suma en un producto, leyendo la distributividad de derecha a izquierda. El primero es mecánico; el segundo exige reconocer una estructura que no está a la vista. Ese segundo movimiento es el objetivo central de esta sección, y es la herramienta con la que simplificaremos expresiones fraccionarias en el §1.4 y resolveremos ecuaciones en el §1.5.
§1. Polinomios y sus elementos¶
Una expresión algebraica es cualquier combinación de números y letras ligadas por las operaciones definidas en \(\mathbb{R}\): suma, resta, producto, cociente y radicación. Las letras se llaman variables y representan números reales cualesquiera. Dentro de esta familia amplia nos interesa un caso particular, el más regular de todos: el polinomio.
Un polinomio de grado \(n\) en la variable \(x\) es una expresión de la forma
donde \(n \in \mathbb{N}_0\) (recordemos del §1.1 que \(\mathbb{N}_0 = \mathbb{N} \cup \{0\}\)), los coeficientes \(a_0, a_1, \dots, a_n\) son números reales y \(a_n \neq 0\). Leamos la fórmula con cuidado. El subíndice de cada coeficiente coincide con el exponente de la potencia de \(x\) que acompaña, de modo que \(a_k\) es el coeficiente de \(x^k\); los puntos suspensivos indican que aparecen todas las potencias intermedias, en orden decreciente. El sumando \(a_0\) no lleva \(x\) visible porque \(x^0 = 1\). La escritura \(P(x)\) da un nombre a la expresión y deja a la vista cuál es su variable. Si en lugar de \(x\) ponemos un número, por ejemplo \(2\), escribimos \(P(2)\) para el número real que resulta; evaluar un polinomio es exactamente eso. Así, si \(P(x) = x^2 - 3x + 1\), entonces \(P(2) = 4 - 6 + 1 = -1\).
La condición \(a_n \neq 0\) es la que fija el grado. Si el coeficiente de la potencia más alta fuera cero, ese sumando no estaría presente y el grado sería menor. Al coeficiente \(a_n\) lo llamamos coeficiente principal, y a \(a_0\), término independiente. El grado de \(P\) se denota \(\operatorname{gr}(P)\) y es la mayor potencia de \(x\) que aparece con coeficiente no nulo. Cuando el coeficiente principal es \(1\), el polinomio se llama mónico. Los polinomios de grado \(0\) son las constantes no nulas. La constante \(0\) también se considera un polinomio, el polinomio nulo, pero no tiene coeficiente no nulo y por eso no le asignamos grado. Cada sumando \(a_k x^k\) es un término, y según la cantidad de términos con coeficiente no nulo el polinomio se llama monomio (uno), binomio (dos) o trinomio (tres). Estos nombres son una comodidad del lenguaje, no una distinción de estructura. La misma definición se extiende a varias variables: \(3x^2y - xy + 5\) es un polinomio en \(x\) e \(y\).
¿Por qué exigimos que los exponentes sean enteros no negativos? Porque un polinomio es lo que se obtiene a partir de números y de la variable usando solo sumas, restas y productos. Una potencia \(x^n\) con \(n\) natural es un producto repetido, como vimos en el §1.2. En cambio, \(x^{-1} = 1/x\) introduce un cociente por la variable y \(x^{1/2} = \sqrt{x}\) introduce una raíz de la variable, y ninguna de esas dos operaciones entra en la construcción. Por eso \(x^{-1}\) y \(\sqrt{x}\) no son términos de un polinomio. La restricción recae sobre la variable, no sobre los coeficientes: \(\frac{1}{2}x^2 + \sqrt{3}\) es un polinomio, porque \(\frac{1}{2}\) y \(\sqrt{3}\) son simplemente números reales.
Recordatorio. En un polinomio, la variable aparece solo con exponentes enteros no negativos; los coeficientes pueden ser reales cualesquiera. El polinomio nulo no tiene grado.
§2. Operaciones con polinomios¶
Dos términos son semejantes cuando tienen la misma parte literal, es decir, las mismas variables con los mismos exponentes. Por la distributividad, los términos semejantes se reúnen sumando sus coeficientes: \(5x^3 - 2x^3 = (5-2)x^3 = 3x^3\). Para sumar o restar polinomios basta con reunir los términos semejantes. Por ejemplo,
Para multiplicar, aplicamos la distributividad: cada término del primer factor multiplica a cada término del segundo, y luego reunimos los términos semejantes. El producto de dos términos se calcula con la ley \(x^i x^j = x^{i+j}\) del §1.2, de modo que \((a_i x^i)(b_j x^j) = a_i b_j x^{i+j}\). Por ejemplo,
En este ejemplo los grados de los factores son \(1\) y \(2\), y el grado del producto es \(3\). No es casualidad. Para demostrar que siempre ocurre así necesitamos un hecho de \(\mathbb{R}\) que usaremos varias veces en esta sección.
Lema. Si \(u, v \in \mathbb{R}\) y \(uv = 0\), entonces \(u = 0\) o \(v = 0\).
Demostración. Supongamos \(u \neq 0\). Entonces \(u\) tiene inverso multiplicativo \(u^{-1}\) (§1.1), y \(v = (u^{-1}u)v = u^{-1}(uv) = u^{-1} \cdot 0 = 0\). \(\blacksquare\)
Dicho de otro modo, un producto de reales no nulos nunca es cero.
Proposición. Sean \(P\) y \(Q\) polinomios no nulos en \(x\). Entonces \(\operatorname{gr}(PQ) = \operatorname{gr}(P) + \operatorname{gr}(Q)\), y el coeficiente principal de \(PQ\) es el producto de los coeficientes principales de \(P\) y de \(Q\).
Demostración. Sean \(n = \operatorname{gr}(P)\) y \(m = \operatorname{gr}(Q)\), con coeficientes principales \(a_n\) y \(b_m\). Al distribuir, cada término \(a_i x^i\) de \(P\) multiplica a cada término \(b_j x^j\) de \(Q\) y produce \(a_i b_j x^{i+j}\). Como \(i \le n\) y \(j \le m\), todo exponente cumple \(i + j \le n + m\), y la igualdad \(i + j = n + m\) solo se da cuando \(i = n\) y \(j = m\). Por lo tanto, en el producto no aparece ninguna potencia mayor que \(x^{n+m}\), y el coeficiente de \(x^{n+m}\) es exactamente \(a_n b_m\), sin ningún otro término semejante con el cual reunirse. Por el lema, \(a_n b_m \neq 0\). \(\blacksquare\)
Con la suma no hay una regla tan precisa: el grado de \(P + Q\) no supera al mayor de los dos grados, pero puede ser menor, porque los términos principales pueden cancelarse. Por ejemplo, \((x^2 + x) + (-x^2 + 1) = x + 1\).
Recordatorio. Al multiplicar polinomios no nulos, los grados se suman. Al sumarlos, el grado puede bajar.
§3. Productos notables¶
Ciertos productos de binomios aparecen con tanta frecuencia que conviene conocer de memoria su resultado, para no distribuir término a término cada vez. Para cualesquiera \(a, b \in \mathbb{R}\):
| Nombre | Identidad |
|---|---|
| Binomio al cuadrado | \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\) |
| Diferencia de cuadrados | \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) |
| Binomio al cubo | \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\) |
| Suma de cubos | \((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\) |
| Diferencia de cubos | \((a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3\) |
El símbolo \(\pm\) reúne dos identidades en una sola línea: se leen todos los signos de arriba a la vez, o todos los de abajo a la vez. Así, la primera fila dice \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) y también \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Ninguna de estas identidades es un hecho aislado. Todas se siguen de la distributividad y la conmutatividad del §1.1, y vale la pena ver cómo.
Proposición. Para todo \(a, b \in \mathbb{R}\) valen las cinco identidades de la tabla.
Demostración. Para el cuadrado, por definición de potencia y por la distributividad,
Como \(ab = ba\), los dos términos centrales se reúnen en \(2ab\), y queda \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Para el cubo multiplicamos este resultado por \(a+b\):
Las versiones con signo menos no requieren un cálculo nuevo. Las identidades que acabamos de probar valen para todo par de reales; en particular, valen si en lugar de \(b\) ponemos \(-b\). Como \((-b)^2 = b^2\) y \((-b)^3 = -b^3\) por la regla de los signos, se obtienen \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) y \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\).
Para la diferencia de cuadrados distribuimos directamente:
porque \(-ab + ba = 0\). Para la suma de cubos,
ya que los términos \(a^2b\) y \(ab^2\) aparecen una vez con cada signo. Finalmente, poniendo \(-b\) en lugar de \(b\) en esta última identidad resulta \((a-b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3\). \(\blacksquare\)
La demostración deja ver una diferencia entre las filas de la tabla. En el cuadrado y en el cubo de un binomio, los términos cruzados se reúnen y el resultado tiene tres o cuatro términos. En la diferencia de cuadrados y en la suma y la diferencia de cubos, en cambio, los términos cruzados se cancelan exactamente y sobreviven solo dos. Esa cancelación es la que vuelve a estas tres identidades tan útiles para factorizar: leídas de derecha a izquierda, convierten un binomio en un producto.
Recordatorio. El cuadrado de un binomio siempre incluye el doble producto: \((a+b)^2\) y \(a^2+b^2\) solo coinciden cuando \(ab = 0\). En la diferencia de cuadrados y en la suma y la diferencia de cubos, los términos cruzados se cancelan.
§4. Técnicas de factorización¶
Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios de grado menor. ¿Cuándo nos detenemos? Decimos que un polinomio de grado mayor o igual que \(1\) es irreducible sobre \(\mathbb{R}\) si no puede escribirse como producto de dos polinomios con coeficientes reales, ambos de grado mayor o igual que \(1\). Factorizar completamente es llegar a un producto de factores irreducibles. La respuesta depende de qué coeficientes admitimos. Si pedimos coeficientes enteros, hablamos de factorizar sobre \(\mathbb{Z}\). El polinomio \(x^2 - 2\) no se factoriza sobre \(\mathbb{Z}\): una factorización con coeficientes enteros produciría, por el mismo argumento que usaremos enseguida para la suma de cuadrados, un número racional cuyo cuadrado es \(2\), y en el §1.1 demostramos que no existe. Sobre \(\mathbb{R}\), en cambio, \(x^2 - 2 = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})\).
No hay un único procedimiento que resuelva todos los casos. Hay, en cambio, un orden razonable de intentos, que conviene recorrer antes de rendirse.
Factor común. Es el primer intento y el más elemental. De cada término extraemos la mayor potencia de cada variable que todos comparten y el máximo común divisor de los coeficientes, aplicando la distributividad al revés: \(ax + ay = a(x+y)\). Por ejemplo, \(6x^3y^2 - 9x^2y^3 = 3x^2y^2(2x - 3y)\), porque \(3x^2y^2\) es lo más grande que ambos términos comparten.
Agrupación de términos. A veces ningún factor es común a todos los términos, pero sí a algunos de ellos. Formamos bloques de términos que compartan un factor y extraemos ese factor en cada bloque. Si el resultado deja a la vista un factor común entre los bloques, lo extraemos a su vez:
Diferencia de cuadrados, suma y diferencia de cubos. Son las identidades del §3 leídas al revés:
Por ejemplo, \(4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x - 3)(2x + 3)\) y \(x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)\).
En esta lista falta una fórmula para la suma de cuadrados. No es un olvido. En el caso más simple la factorización es imposible, y la razón es que en \(\mathbb{R}\) ningún cuadrado es negativo. En efecto, de los axiomas de orden del §1.1 se sigue que \(t^2 \ge 0\) para todo real \(t\): si \(t > 0\), entonces \(t^2 = t \cdot t > 0\); si \(t < 0\), entonces \(-t > 0\) y \(t^2 = (-t)^2 > 0\); y \(0^2 = 0\).
Proposición. Si \(c \in \mathbb{R}\) y \(c \neq 0\), el polinomio \(x^2 + c^2\) es irreducible sobre \(\mathbb{R}\).
Demostración. Supongamos que \(x^2 + c^2\) es producto de dos polinomios de grado mayor o igual que \(1\). Como los grados se suman (§2), ambos tienen grado \(1\), y podemos escribir \(x^2 + c^2 = (px + q)(rx + s)\) con \(p, q, r, s\) reales y \(p \neq 0\), \(r \neq 0\). Evaluemos ambos lados en \(t = -q/p\). A la derecha, el primer factor vale \(p(-q/p) + q = 0\), y el producto es \(0\). A la izquierda, \(t^2 + c^2 \ge c^2 > 0\), porque \(t^2 \ge 0\) y \(c^2 > 0\). Un mismo número no puede ser a la vez \(0\) y positivo. \(\blacksquare\)
Irreducible sobre \(\mathbb{R}\) no quiere decir irreducible siempre: cuando ampliemos el sistema numérico con los números complejos, en el §3.3, \(x^2 + c^2\) se factorizará. Tampoco quiere decir que toda suma de cuadrados sea irreducible. Sumando y restando un mismo término, \(x^4 + 4\) se convierte en una diferencia de cuadrados:
Este recurso de completar un cuadrado es el mismo que nos dará, en el próximo apartado, la factorización de todo trinomio de segundo grado.
Recordatorio. Antes de aplicar cualquier otra técnica, buscamos un factor común. La suma de cuadrados \(x^2 + c^2\), con \(c \neq 0\), no se factoriza en \(\mathbb{R}\), porque ningún cuadrado real es negativo.
§5. El trinomio de segundo grado¶
El caso más frecuente, y el que exige más cuidado, es el del trinomio \(ax^2 + bx + c\) con \(a \neq 0\). Aquí \(a\), \(b\) y \(c\) son los coeficientes y \(x\) es la variable.
Empecemos por el caso mónico, \(x^2 + bx + c\). Al desarrollar un producto de la forma \((x+r)(x+s)\) se obtiene
Por lo tanto, si encontramos dos reales \(r\) y \(s\) cuya suma es \(b\) y cuyo producto es \(c\), tenemos la factorización \(x^2 + bx + c = (x+r)(x+s)\). Por ejemplo, para \(x^2 + x - 6\) buscamos dos números de producto \(-6\) y suma \(1\); son \(3\) y \(-2\), y entonces \(x^2 + x - 6 = (x+3)(x-2)\). Cuando los coeficientes son enteros, conviene buscar \(r\) y \(s\) entre los divisores de \(c\). Pero la búsqueda no siempre tiene éxito, y aunque lo tenga no nos dice nada cuando fracasa: ¿el trinomio no se factoriza, o no supimos encontrar los números? Para responder necesitamos un método que funcione siempre.
Ese método es completar el cuadrado. Llamamos discriminante del trinomio al número
La letra griega \(\Delta\) (delta mayúscula) es solo un nombre para esta combinación de coeficientes. Veremos que su signo discrimina, es decir, distingue, los trinomios que se factorizan de los que no.
Proposición. Sean \(a, b, c \in \mathbb{R}\) con \(a \neq 0\), y sea \(\Delta = b^2 - 4ac\).
(i) Si \(\Delta \ge 0\), entonces \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\), donde
(ii) Si \(\Delta < 0\), el trinomio \(ax^2 + bx + c\) es irreducible sobre \(\mathbb{R}\).
Demostración. Primero extraemos el factor \(a\) y completamos el cuadrado. Como \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2}\) por el §3, resulta
donde en el último paso escribimos \(-\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = -\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\). Esta identidad vale sin importar el signo de \(\Delta\).
(i) Si \(\Delta \ge 0\), existe \(\sqrt{\Delta}\) (§1.2), y \(\left(\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)^2 = \frac{\Delta}{4a^2}\). El corchete es entonces una diferencia de cuadrados, con \(u = x + \frac{b}{2a}\) y \(v = \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\), y por el §3 se factoriza como \((u - v)(u + v)\). Pero
de modo que \(ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\).
(ii) Si \(\Delta < 0\), para todo real \(t\) el corchete evaluado en \(t\) es positivo, porque \(\left(t + \frac{b}{2a}\right)^2 \ge 0\) y \(-\frac{\Delta}{4a^2} > 0\). Como \(a \neq 0\), el lema del §2 da \(at^2 + bt + c \neq 0\) para todo real \(t\). Si el trinomio se factorizara, como en la proposición del §4 ambos factores tendrían grado \(1\), y podríamos escribir \(ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)\) con \(p \neq 0\). Al evaluar en \(t = -q/p\), el lado derecho valdría \(0\), en contradicción con lo anterior. \(\blacksquare\)
Veamos un ejemplo de cada caso. Para \(2x^2 - x - 3\) tenemos \(\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25\), de modo que \(x_1 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{3}{2}\) y \(x_2 = \frac{1 - 5}{4} = -1\). Entonces \(2x^2 - x - 3 = 2\left(x - \frac{3}{2}\right)(x + 1) = (2x - 3)(x + 1)\), donde en el último paso absorbimos el \(2\) en el primer factor. En cambio, para \(x^2 + x + 1\) el discriminante es \(1 - 4 = -3 < 0\), y el trinomio es irreducible. La suma de cuadrados \(x^2 + c^2\) del §4 es el caso \(a = 1\), \(b = 0\), con \(\Delta = -4c^2 < 0\). Ambas irreducibilidades tienen, entonces, la misma causa: en \(\mathbb{R}\) ningún cuadrado es negativo.
Cuando \(\Delta = 0\), los dos números coinciden, \(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}\), y el trinomio es \(a(x - x_1)^2\), un cuadrado perfecto multiplicado por \(a\). Observemos también que \(x_1\) y \(x_2\) anulan el trinomio, porque anulan uno de los factores. En el §1.5 leeremos esta misma cuenta como la resolución de la ecuación \(ax^2 + bx + c = 0\).
Recordatorio. Al factorizar \(ax^2 + bx + c\) no hay que olvidar el coeficiente principal: el resultado es \(a(x - x_1)(x - x_2)\), no \((x - x_1)(x - x_2)\). El signo de \(\Delta\) decide si el trinomio se factoriza en \(\mathbb{R}\).
Con los polinomios, sus operaciones, los productos notables y las técnicas de factorización ya disponibles, estamos en condiciones de estudiar los cocientes de polinomios: las expresiones fraccionarias, tema de la sección siguiente.